ゲーデルの不完全性定理による方法とは? わかりやすく解説

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ゲーデルの不完全性定理による方法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/06/10 08:27 UTC 版)

算術の超準モデル」の記事における「ゲーデルの不完全性定理による方法」の解説

不完全性定理により、標準モデルでは真であるがペアノの公理においては決定不能あるような文(ゲーデル文) G {\displaystyle G} が存在する。このとき、完全性定理より、ペアノの公理P A {\displaystyle \mathrm {PA} } に ¬ G {\displaystyle \lnot G} を加えた公理系モデル存在する標準モデルで G {\displaystyle G} は真なので、このモデルは超準モデルなければいけない。このように、 ¬ G {\displaystyle \lnot G} を満たすことは、そのモデルが超準的である為の十分条件となる。しかし、これは必要条件ではない。いかなるゲーデル文 G {\displaystyle G} に対しても、 G {\displaystyle G} が真であるようあらゆる濃度モデル存在する算術無矛盾であると仮定すれば、算術に ¬ G {\displaystyle \lnot G} を付け加えたものもまた無矛盾である。しかし、 ¬ G {\displaystyle \lnot G} は算術矛盾していることを意味するのだから、結果得られ算術体系ω-無矛盾にはならない(なぜなら、 ¬ G {\displaystyle \lnot G} は偽であり、したがって ω-無矛盾性反する)。

※この「ゲーデルの不完全性定理による方法」の解説は、「算術の超準モデル」の解説の一部です。
「ゲーデルの不完全性定理による方法」を含む「算術の超準モデル」の記事については、「算術の超準モデル」の概要を参照ください。

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