グロタンディークの定理
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/15 01:39 UTC 版)
「フレドホルム核」の記事における「グロタンディークの定理」の解説
L : B → B {\displaystyle {\mathcal {L}}:B\to B} をある作用素とする。その次数が q ≤ 2 / 3 {\displaystyle q\leq 2/3} を満たすなら、そのトレースは Tr L = ∑ { i } ρ i {\displaystyle {\mbox{Tr}}{\mathcal {L}}=\sum _{\{i\}}\rho _{i}} のように定義されうる。ここで、 ρ i {\displaystyle \rho _{i}} は L {\displaystyle {\mathcal {L}}} の固有値とする。また、そのフレドホルム行列式は、z の整関数 det ( 1 − z L ) = ∏ i ( 1 − ρ i z ) {\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\prod _{i}\left(1-\rho _{i}z\right)} である。関係式 det ( 1 − z L ) = exp Tr log ( 1 − z L ) {\displaystyle \det \left(1-z{\mathcal {L}}\right)=\exp {\mbox{Tr}}\log \left(1-z{\mathcal {L}}\right)} も同様に成立する。最後に、 L {\displaystyle {\mathcal {L}}} がある複素数値パラメータ w によって関連付けらなら、すなわち、 L = L w {\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}} であり、そのパラメータ付けがある領域上で正則であるなら、 L = L w {\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{w}} も同じ領域上で正則となる。
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