ガンマ行列の表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/03 13:51 UTC 版)
詳細は「ガンマ行列」を参照 パウリ行列はガンマ行列の特定の表現を構成するのに用いられる。ガンマ行列 σμ (μ= 0, 1, 2, 3) は反交換関係 { γ μ , γ ν } = γ μ γ ν + γ ν γ μ = 2 g μ ν I {\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }+\gamma ^{\nu }\gamma ^{\mu }=2g^{\mu \nu }I} を満たすものとして定義される。ただし、I は単位元であり、gμν (μ, ν = 0, 1, 2, 3) は4次元時空のミンコフスキー計量 g = (gμν) = diag(+1, −1, −1, −1) である。このとき、2次単位行列 I2 とパウリ行列により、4次正方行列 γ 0 = [ I 2 0 0 − I 2 ] , γ j = [ 0 σ j − σ j 0 ] ( j = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{bmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\\\end{bmatrix}},\,\gamma ^{j}={\begin{bmatrix}0&\sigma _{j}\\-\sigma _{j}&0\end{bmatrix}}\quad (j=1,2,3)} を導入すると、これらは上記の反交換関係を満たし、ガンマ行列の表現を与える。これをガンマ行列のディラック表現と呼ぶ。これは次の直積に対する4次正方行列表現である。 γ 0 = σ 3 ⊗ I 2 , γ j = i σ 2 ⊗ σ j ( j = 1 , 2 , 3 ) {\displaystyle \gamma ^{0}=\sigma _{3}\otimes I_{2},\,\gamma ^{j}=i\sigma _{2}\otimes \sigma _{j}\quad (j=1,2,3)}
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