ガウス平面上での挙動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/18 08:10 UTC 版)
複素変数の階乗の値をガンマ函数による表現を通して評価することができる。絶対値 ρ と偏角 φ を用いて f = ρ exp ( i φ ) = ( x + i y ) ! = Γ ( x + i y + 1 ) {\displaystyle f=\rho \exp(i\varphi )=(x+iy)!=\Gamma (x+iy+1)} と書けば、絶対値一定曲線 ρ = (定数) と偏角一定曲線 φ = (定数) を等値線として格子を描くことができる。一定間隔で引いた等値線の間にさらに細かく等値線を引けば、それが補間で得られる値である。極である負の整数においては絶対値と偏角が定義できず、またその周辺で等値線は密になる。 展開の係数の最初の方ngn近似値0 1 1 1 −γ −0.5772156649 2 π 2 12 + γ 2 2 {\displaystyle {\frac {\pi ^{2}}{12}}+{\frac {\gamma ^{2}}{2}}} 0.9890559955 3 − ζ ( 3 ) 3 − π 2 γ 12 − γ 3 6 {\displaystyle -{\frac {\zeta (3)}{3}}-{\frac {\pi ^{2}\gamma }{12}}-{\frac {\gamma ^{3}}{6}}} −0.9074790760 γ はオイラー・マスケローニ定数、ζ はリーマンゼータ函数である。 |z| < 1 に対してはテイラー展開 z ! = ∑ n = 0 ∞ g n z n {\displaystyle z!=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n}z^{n}} が利用できる。この展開のより多くの項は、Sageのような計算機代数システムで計算できる。
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