カルノーの定理 (円錐曲線)

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カルノーの定理 (円錐曲線)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/07/22 16:44 UTC 版)

円錐曲線と辺の6つの交点

カルノーの定理（カルノーのていり、英: Carnot's theorem, Carnot theorem）は、ラザール・カルノーにちなんで名付けられた定理の一つである。

定理

カルノーの定理 ― 三角形ABC について、AB上の点C_a, C_b、BC上の点A_b, A_c、CA上の点B_c, B_aの六点が同一円錐曲線上にあることと、以下の式が成り立つことは同値である：

$${\frac {|AC_{A}|}{|BC_{A}|}}\cdot {\frac {|AC_{B}|}{|BC_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{B}|}{|CA_{B}|}}\cdot {\frac {|BA_{C}|}{|CA_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{C}|}{|AB_{C}|}}\cdot {\frac {|CB_{A}|}{|AB_{A}|}}=1.$$

関連する定理

A_b, A_c, B_c, B_a, C_a, C_bが同一円錐曲線上にあるならば、AA_b, AA_c, BB_c, BB_a, CC_a, CC_bに接する円錐曲線が存在する（ブラッドリーの定理、Bradley's theorem）。

それぞれB_aC_a, C_bA_b, A_c,B_cとBC, CA, ABの交点は共線である（パスカルの定理）。

一般に、m個の点P₁, P₂, P₃, ..., P_mについて、それぞれ直線P_iP_i+1上のn個の点A_i1, A_i2, ..., A_in、計mn個の点がn次代数曲線上にあるとき、次の式が成り立つ。

$\prod _{1\leq i\leq m,1\leq j\leq n}{\dfrac {P_{i}A_{ij}}{A_{ij}P_{i+1}}}=(-1)^{mn}$

ただしP_m+1 = P₁とする。2 < nの場合、逆は成立しない。m = 3としてn = 1, 2のとき、それぞれメネラウスの定理、カルノーの定理である。 m個の点は平面上に無くともよい、すなわちユークリッド空間の点と代数曲面へ拡張できる。

参考文献

• Carnot, L. N. M. (1803). Géométrie de position. Crapelet. https://books.google.fr/books?id=xTGul_XQmcUC 
• Poncelet, J. V. (1832). “Analyse des transversales appliquée à la recherche des propriétés projectives des lignes et surfaces géométriques”. Journal für die reine und angewandte Mathematik 8: 21-41. https://gdz.sub.uni-goettingen.de/id/PPN243919689_0008. 
• Terquem, O. (1859). “Sur le théorème segmentaire de Carnot et conséquences sur les tangentes”. Nouvelles annales de mathématiques 18 (3): 347-348. http://archive.numdam.org/item/NAM_1859_1_18__347_1/. 
• Chasles, M. (1865). Traité des sections coniques, faisant suite au traité de géométrie supérieure. Gauthier-Villars. p. 19. https://books.google.fr/books?id=Vi97LePNv24C 
• Laisant, C. A. (1865). “Remarques au sujet du théorème de Carnot”. Nouvelles annales de mathématiques 9 (3): 5-20. http://archive.numdam.org/item/NAM_1890_3_9__5_0/. 
• Poncelet, J. V. (1865) (フランス語). Traité des propriétés projectives des figures. 1. Paris: Gauthier-Villars. pp. 18. https://archive.org/details/traitdespropri01poncuoft 
• Cazamian, André (1895). “Sur le théorème de Carnot”. Nouvelles annales de mathématiques 3 (14). http://archive.numdam.org/item/NAM_1895_3_14__30_1/. 
• Mannheim, A. (1897). “Note à propos d'un théorème connu de géométrie”. Bull. SMF 25: 78-82. doi:10.24033/bsmf.554. http://archive.numdam.org/item/BSMF_1897__25__78_1/. 
• Michel, Charles (1900). “Remarques sur quelques théorèmes généraux de géométrie métrique”. Nouvelles annales de mathématiques 19 (3): 169-176. http://archive.numdam.org/item/NAM_1900_3_19__169_1/. 
• Modenov, P. S. (1981). Problems In Geometry. https://archive.org/details/ModenovProblemsInGeometryMir1981 
• Chemla, Pour Karine (1990). Remarques sur les recherches géométriques de Lazare Carnot dans Jean Paul Charnay et Claude Albert, Lazare Carnot, ou, Le Savant citoyen. Presses Paris Sorbonne. pp. 525-542. ISBN 978-2-90431567-1. https://books.google.fr/books?id=Upv8ceWGQDgC 
• van Kempen, Huub (2006). “On Some Theorems of Poncelet and Carnot”. Forum Geometricorum 6: 229–234. 
• Eiden, Jean-Denis (2009). Géométrie analytique classique. Calvage & Mounet. ISBN 978-2-916352-08-4 
• Nicaise, Pour Pierre (2012). Les courbes algébriques planes du troisième ordre : mémoires mathématiques. Publibook. p. 200. ISBN 978-2-7483-7275-5 
• Eoin Ó Murchadha (2012). “Menelaus' Theorem, Weil Reciprocity, and a generalisation to algebraic curves”. The TCDMATH Report Series (Trinity College, University of Dublin). https://www.maths.tcd.ie/research/papers/. 
• Vigara, Ruben (22 January 2015). “Non-euclidean shadows of classical projective theorems”. arXiv:1412.7589 [math.MG].
• Boyer, Pascal (2015). algèbre et géométrie. Calvage et Mounet. pp. 47-48 
• Halbeisen, Lorenz; Hungerbühler, Norbert; Läuchli, Juan (2016) (ドイツ語). Mit harmonischen Verhältnissen zu Kegelschnitten: Perlen der klassischen Geometrie. 40. Springer. pp. 168–173. ISBN 9783662530344 
• Baralic, Djordje (28 August 2018). “Around the Carnot theorem”. arXiv:1308.6144 [math.AG].
• Gevay, Gabor; Bašić, Nino; Kovič, Jurij; Pisanski, Tomaž (14 March 2019). “Point-Ellipse And Some Other Exotic Configurations” (英語). arXiv:1903.06012 [math.CO].
• Michael Perez Palapa; Kai Williams (2 March 2024). “Non-Euclidean Cross-Ratios and Carnot’s Theorem for Conics”. arXiv:2403.19688 [math.GM].

関連項目

• 内接円錐曲線
• チェバの定理
• テルケムの定理
• ケイリー＝バッハラッハの定理
• ヴェイユ相互律

外部リンク

• Pamfilos, Paris. “Carnot's theorem”. EucliDraw. 2025年7月21日閲覧。
• Bogomolny, Alexander. “Carnot's Theorem for Conics”. cut-the-knot.org. 2025年7月21日閲覧。
• “Carnot theorem”. Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. (2002). https://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Carnot_theorem&oldid=11853