カルダノの方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/09 06:39 UTC 版)
一般の三次方程式の代数的解法は、カルダノの方法あるいはカルダノの公式として知られている。 a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a3 ≠ 0) の両辺を a3 で割り x3 + A2 x2 + A1 x + A0 = 0 の形にする。( A n = a n a 3 {\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{3}}}} ) x = y − A 2 3 {\displaystyle x=y-{\frac {A_{2}}{3}}} により変数変換を行うと、2次の項が消え、 y 3 + ( A 1 − A 2 2 3 ) y + ( A 0 − 1 3 A 1 A 2 + 2 27 A 2 3 ) = 0 {\displaystyle y^{3}+\left(A_{1}-{\frac {{A_{2}}^{2}}{3}}\right)y+\left(A_{0}-{\frac {1}{3}}A_{1}A_{2}+{\frac {2}{27}}{A_{2}}^{3}\right)=0} という三次方程式が得られる。見やすいように一次の係数を p, 定数項を q とし y3 + p y + q = 0 と書く。 ここで y = u + v とおくと、 u3 + v3 + q + (3uv + p)(u + v) = 0 未知数 u, v がこの方程式を満たすには、 u3 + v3 + q = 0 3uv + p = 0 となることが十分であるが、この十分条件を満たす u, v が以下に示すように求まる。根と係数の関係より、u3, v3 を解とする二次方程式は t 2 + q t − ( p 3 ) 3 = 0 {\displaystyle t^{2}+qt-\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}=0} この二次方程式を解の公式により解くと、 u 3 , v 3 = − q 2 ± ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 {\displaystyle u^{3},v^{3}=-{\frac {q}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}} 故に、実数解の一つとして y = − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 {\displaystyle y={\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}} が求まる。 この解法が見つけられた当時は複素数は知られていなかったため、これで解を求めたことになったが、 ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 < 0 {\displaystyle \left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}<0} の時、実数解が虚数で表されるという不合理が生じた。 その後、複素数についての研究が進み x3 = a の解が ω を 1 の虚立方根として a 3 , ω a 3 , ω 2 a 3 {\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}},\omega {\sqrt[{3}]{a}},\omega ^{2}{\sqrt[{3}]{a}}} の3個あることが知られるようになってからは u の立方根をとる際にも同様に 3 つの場合を考えるようになり、それぞれに対応する v を求めることで y = ω k − q 2 + ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 + ω 3 − k − q 2 − ( q 2 ) 2 + ( p 3 ) 3 3 ( k = 0 , 1 , 2 ) {\displaystyle y=\omega ^{k}{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}+\omega ^{3-k}{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {p}{3}}\right)^{3}}}}}\ (k=0,1,2)} が解として知られるようになった。 カルダノの方法より、次の因数分解の公式が導かれる： x3 + y3 + z3 − 3 x y z = (x + y + z)(x + ω y + ω2 z)(x + ω2 y + ω z) = (x + y + z) (x2 + y2 + z2 − z x − x y − y z) 逆に、この因数分解の公式から、三次方程式を同様に解くことができる。三次方程式 x3 + p x + q = 0 において、y3 + z3 = q, −3 y z = p とおくと、上記の因数分解の公式より x3 + p x + q = (x + y + z)(x + ω y + ω2 z)(x + ω2 y + ω z) この計算はカルダノの方法と同じである。
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