オイラー方程式の変形の導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/12 10:23 UTC 版)
「ベルヌーイの定理」の記事における「オイラー方程式の変形の導出」の解説
非粘性流体の運動はオイラー方程式で記述される。 D v D t = − 1 ρ ∇ p + f {\displaystyle {D{\boldsymbol {v}} \over Dt}=-{1 \over \rho }\nabla p+{\boldsymbol {f}}} ただし、 v {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} は速度、 ρ {\displaystyle \rho } は密度、 p {\displaystyle p} は圧力、 f {\displaystyle {\boldsymbol {f}}} は外力である。 バロトロピック性 ρ = ρ ( p ) {\displaystyle \rho =\rho (p)} と外力が保存力であることを仮定すると、 D v D t = − ∇ { ∫ d p ρ + Ω } {\displaystyle {D{\boldsymbol {v}} \over Dt}=-\nabla \left\{\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}\right\}} と書き換えられる。ただし、 Ω {\displaystyle \Omega } は外力のポテンシャルである。 左辺は速度の物質微分、すなわち、加速度であるが、加速度の回転形表示を使うと、 D v D t = ∂ v ∂ t + v ⋅ ∇ v = ∂ v ∂ t + ∇ ( v 2 2 ) − v × ( ∇ × v ) {\displaystyle {\begin{aligned}{D{\boldsymbol {v}} \over Dt}&={\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla {\boldsymbol {v}}\\&={\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}+\nabla \left({v^{2} \over 2}\right)-{\boldsymbol {v}}\times \left(\nabla \times {\boldsymbol {v}}\right)\end{aligned}}} と変形できるので、オイラー方程式は ∂ v ∂ t − v × ( ∇ × v ) + ∇ { v 2 2 + ∫ d p ρ + Ω } = 0 {\displaystyle {\partial {\boldsymbol {v}} \over \partial t}-{\boldsymbol {v}}\times \left(\nabla \times {\boldsymbol {v}}\right)+\nabla \left\{{v^{2} \over 2}+\int {\mathrm {d} p \over \rho }+{\mathit {\Omega }}\right\}=0} となる。 これより、以下の二つの定理が導出できる。
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