エルミート行列の境界とは? わかりやすく解説

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エルミート行列の境界

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/03/28 03:22 UTC 版)

レイリー商」の記事における「エルミート行列の境界」の解説

エルミート行列 M の固有値 λi と固有ベクトル vi の間の関係は M v i = λ i v i {\displaystyle {\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {v}}_{i}=\lambda _{i}{\boldsymbol {v}}_{i}} である。上で述べたとおり M に対すレイリー商 R(M, x) は実数で、その範囲は M の固有値最小値 λmin最大値 λmax の間となる: R ( M , x ) ∈ [ λ min , λ max ] . {\displaystyle R({\boldsymbol {M}},{\boldsymbol {x}})\in \left[\lambda _{\min },\lambda _{\max }\right]\,.} このことは、ベクトル x が M の固有ベクトル {vi} によって展開できることから示すことができる。x を規格化され固有ベクトルvi*vj = δijクロネッカーのデルタ)で以下のように展開する: x = ∑ i c i v i . {\displaystyle {\boldsymbol {x}}=\sum _{i}c_{i}{\boldsymbol {v}}_{i}.} 展開係数固有ベクトルとの内積 c i = v i ∗ x {\displaystyle c_{i}={\boldsymbol {v}}_{i}^{*}{\boldsymbol {x}}} である。x の固有ベクトルによる展開をレイリー商適用すれば、レイリー商が M の固有値重み付き平均等しくなることが示される: R ( M , x ) = x ∗ M x x ∗ x = ∑ i λ i | c i | 2 ∑ i | c i | 2 . {\displaystyle R({\boldsymbol {M}},{\boldsymbol {x}})={\frac {{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {M}}{\boldsymbol {x}}}{{\boldsymbol {x}}^{*}{\boldsymbol {x}}}}={\frac {\sum _{i}\lambda _{i}|c_{i}|^{2}}{\sum _{i}|c_{i}|^{2}}}.} 重み付き平均の形から、レイリー商値域とその境界固有ベクトル vmin, vmax によって定められることが確認できるレイリー商固有値重み付き平均等しという事実から、すべての固有値特定することができる。それぞれの固有値が λmax = λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn = λmin降順並べてあるとすると、x が基底 v1直交するという条件の下では、v1*x = a1 = 0 であり、レイリー商 R(M, x) の最大値は λ2 となる。またこのとき x = v2 である。

※この「エルミート行列の境界」の解説は、「レイリー商」の解説の一部です。
「エルミート行列の境界」を含む「レイリー商」の記事については、「レイリー商」の概要を参照ください。

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