イデアルのノルム
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/20 06:23 UTC 版)
定義 I K {\displaystyle I_{K}} の任意のイデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} に対して、剰余環 I K / a {\displaystyle I_{K}/{\mathfrak {a}}} は有限環である。このとき、剰余環 I K / a {\displaystyle I_{K}/{\mathfrak {a}}} の元の個数を、イデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} のノルム (norm)といい、 N a {\displaystyle N{\mathfrak {a}}} で表す。 ノルムの性質 任意のイデアル a {\displaystyle {\mathfrak {a}}} に対して、ノルムは1以上の有理整数である。 与えられた整数 m に対して、ノルムが m であるイデアルは有限個である。 任意のイデアル a , b {\displaystyle {\mathfrak {a}},\ {\mathfrak {b}}} に対して、 N a b = N a N b {\displaystyle N{\mathfrak {ab}}=N{\mathfrak {a}}N{\mathfrak {b}}} 。 任意の I K {\displaystyle I_{K}} の元 α に対して、 N ( α ) = | N K / Q α | {\displaystyle N(\alpha )=|N_{K/\mathbb {Q} }\alpha |} 。 素イデアルのノルム I K {\displaystyle I_{K}} の素イデアル p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} に対して、ある有理素数 p と、正整数 f が存在して、 N p = p f {\displaystyle N{\mathfrak {p}}=p^{f}} 。 このとき、f を p {\displaystyle {\mathfrak {p}}} の次数という。 任意の有理素数 p に対して、 ( p ) = p 1 e 1 ⋯ p r e g {\displaystyle (p)={\mathfrak {p}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {p}}_{r}^{e_{g}}} ( p 1 , … , p g {\displaystyle {\mathfrak {p}}_{1},\ldots ,\ {\mathfrak {p}}_{g}} は相異なる素イデアル、 e i ≥ 1 {\displaystyle e_{i}\geq 1} ) と素イデアル分解したとき 、 N p i = p f i {\displaystyle N{\mathfrak {p}}_{i}=p^{f_{i}}} となる正整数 f i {\displaystyle f_{i}} が存在し、 n = e 1 f 1 + ⋯ + e g f g {\displaystyle n=e_{1}f_{1}+\cdots +e_{g}f_{g}} が成り立つ。
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