アーベル総和法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/12 02:28 UTC 版)
x を |x| < 1 を満たす実数とし、収束因子 xn をグランディ級数の各項 an = (−1)n に乗ずると、ベキ級数 f ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x n = 1 − x + x 2 + ⋯ {\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}=1-x+x^{2}+\cdots } は、|x| < 1 で f ( x ) = 1 1 + x {\displaystyle f(x)={\frac {1}{1+x}}} に一様収束する。ここで、左極限をとれば、 lim x → 1 − f ( x ) = 1 2 {\displaystyle \lim _{x\to 1-}{f(x)}={\frac {1}{2}}} である。一般に |x| < 1 で収束するベキ級数 ∑∞n=0 anxn が lim x → 1 − ∑ n = 0 ∞ a n x n = S {\displaystyle \lim _{x\to 1-}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=S} を満たすとき、∑∞n=0 an は値 S にアーベル総和可能という。このアーベル総和法の定義に従えば、グランディ級数は S = 1/2 にアーベル総和可能である。
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