連続の方程式 流体における連続の式

ウィキペディア

連続の方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/12/20 15:47 UTC 版)

流体における連続の式

質量保存則

速度が v で表される流れを考える。ρを質量密度、j を質量の流束とする。流れ、すなわち、移流あるいは対流は速度 v での物質の移動であるので、流束は

${\boldsymbol {j}}=\rho {\boldsymbol {v}}$

となる。

質量保存則から連続の式は

${\partial \rho \over \partial t}+\nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=0$

となる。

輸送定理による導出

速度が v で表される流れにおける連続の方程式は、質量保存則とレイノルズの輸送定理を用いても導ける。

$0={\mathrm {d} \over \mathrm {d} t}\int _{\Omega (t)}\rho \,dV=\int _{\Omega (t)}\left({D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}\right)dV$

ここで、${D \over Dt}$ は実質微分であり、Ω(t ) は流れと共に移動する任意の積分領域とする。1番目の等式は質量保存則を、2番目の等式はレイノルズの輸送定理を表している。

これより、

${D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0$

が成立する。

この式は、実質微分の定義

${D \over Dt}\equiv {\partial \over \partial t}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla$

と公式

$\nabla \cdot \left(\rho {\boldsymbol {v}}\right)=\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}+{\boldsymbol {v}}\cdot \nabla \rho$

を使って、

${\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\boldsymbol {v}})=0$

と等価であることがわかる。

非圧縮性流体についての連続の方程式

連続の方程式

${D\rho \over Dt}+\rho \,\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0$

に対して、非圧縮性流体の性質（密度が一定であること）を付加すると、非圧縮性流体における連続の式が導き出される。密度が一定というのは、空間的に一様という意味ではなく、変形していく領域内で一定という意味である。つまり、${\frac {D\rho }{Dt}}=0$ となるので、ρ≠ 0 であることから、

$\nabla \cdot {\boldsymbol {v}}=0$

を得る。この式を非圧縮性条件ともいう。

この条件を満たす流れにおいて、流れていく流体要素の体積は不変である。