リーマン曲率テンソル
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リーマン幾何学においてリーマン曲率テンソル（リーマンきょくりつテンソル、英: Riemann curvature tensor）あるいはリーマン-クリストッフェルのテンソル（英: Riemann–Christoffel tensor）とは、リーマン多様体の曲率を表す4階のテンソルを言う。名称は、ベルンハルト・リーマンおよびエルウィン・ブルーノ・クリストッフェルに因む。
- ^ なお、一般の r 階共変テンソル の共変微分に関するリッチの公式は以下
- （リッチの公式）
- ^ すなわち、リーマン曲率テンソルは「共変微分の非可換さ」を測るものである。
- ^ ただし、
以後、使い分けのため、リーマン-クリストッフェルのテンソルというときはこの4階共変テンソルを指すこととする。 - ^ 座標系（uh）から座標系（xh）へのクリストッフェル記号の座標変換公式
（3階共変1階反変）リーマン曲率テンソル（Riemann curvature tensor）
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/25 07:11 UTC 版)
「リーマン曲率テンソル」の記事における「（3階共変1階反変）リーマン曲率テンソル（Riemann curvature tensor）」の解説
共変ベクトル（1階共変テンソル）vi の共変微分に関して次のリッチの公式 ∇ k ∇ j v i − ∇ j ∇ k v i = − ∑ a R k j i a v a {\displaystyle \nabla _{k}\nabla _{j}v_{i}-\nabla _{j}\nabla _{k}v_{i}=-\sum _{a}R_{kji}{}^{a}v_{a}} （リッチの公式） が成り立つが、このとき、右辺に現れる3階共変1階反変テンソルで次のように定義されるテンソル R k j i h = ∂ { h j i } ∂ x k − ∂ { h k i } ∂ x j + ∑ a { h k a } { a j i } − ∑ a { h j a } { a k i } {\displaystyle R_{kji}{}^{h}={\frac {\partial \left\{{{h} \atop {ji}}\right\}}{\partial x^{k}}}-{\frac {\partial \left\{{{h} \atop {ki}}\right\}}{\partial x^{j}}}+\sum _{a}\left\{{{h} \atop {ka}}\right\}\left\{{{a} \atop {ji}}\right\}-\sum _{a}\left\{{{h} \atop {ja}}\right\}\left\{{{a} \atop {ki}}\right\}} をリーマン曲率テンソル（Riemann curvature tensor）またはリーマン-クリストッフェルのテンソル（Riemann-Christoffel tensor）と呼ぶ。
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リーマン曲率テンソル
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「ペンローズのグラフ記法」の記事における「リーマン曲率テンソル」の解説
リーマン曲率テンソルに関して与えられたリッチとビアンキ恒等式は、表記法の力を例証する。 リッチテンソル R a b = R a c b c {\displaystyle R_{ab}=R_{acb}^{\ \ \ c}} リッチ恒等式 ( ∇ a ∇ b − ∇ b ∇ a ) ξ d {\displaystyle (\nabla _{a}\,\nabla _{b}-\nabla _{b}\,\nabla _{a})\,\mathbf {\xi } ^{d}} = R a b c d ξ c {\displaystyle =R_{abc}^{\ \ \ d}\,\mathbf {\xi } ^{c}} ビアンキ恒等式 ∇ [ a R b c ] d e = 0 {\displaystyle \nabla _{[a}R_{bc]d}^{\ \ \ e}=0}
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リーマン曲率テンソル
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「一般相対性理論の数学」の記事における「リーマン曲率テンソル」の解説
詳細は「リーマン曲率テンソル」を参照 一般相対性理論で非常に重要なことは、曲がった多様体の概念である。多様体の曲率を測る有用な方法は、リーマン曲率テンソルと呼ばれる対象を扱うことである。 このテンソルは、2本の曲線に沿って 2つの点の間のベクトルを平行移動したときの効果を考えるアフィン接続を使うことにより曲率を測る。これらの 2つの平行移動の経路の間の差異は、本質的にリーマンテンソルにより計測される。 リーマンテンソルのこの性質は、どれくらい初期の平行な測地線が広がるかを記述することに使うことができる。このことは測地線偏差（英語版）(geodesic deviation) の方程式により表現され、重力場の中で潮汐力が時空の曲率の結果にどれくらい影響されるかを意味している。 上記の過程を使い、リーマンテンソルはタイプ (1, 3) のテンソルとして定義され、クリストッフェル記号とその第一階偏微分を使い明らかな形に書き下すことができる。リーマンテンソルは 20 個の独立な成分からなる。領域上でこれらの成分がすべて 0 となることは、この領域では時空が平坦であることを表している。測地線偏差の観点からは、このことは、この時空の領域内では初期に平行な測地線が平行のままであることを意味する。 リーマンテンソルは、テンソルの対称性として理解される多くの性質を持っている。特に一般相対性理論で参照される性質は、代数的または微分幾何学的なビアンキ恒等式である。 任意のリーマン多様体の接続と曲率は、ホロノミー群（英語版）(holonomy groups) の理論と密接に関係する。ホロノミー群は多様体上の曲線の周りの平行移動により定義される線型写像をとり、この関係性を記述することで定式化される。 リーマンテンソルは、数学的に空間が平坦であるか否か、また曲がっているとしたらどのくらいの曲率が与えられた領域に発生しているのか記述することを可能とする。リーマン曲率テンソルを導出するためには、まず、1つまたは 2つの添字を持つテンソルの共変微分の定義を思い起こさねばならない。 ∇ μ V ν = ∂ μ V ν − Γ ρ μ ν V ρ {\displaystyle \nabla _{\mu }V_{\nu }=\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }} ∇ m [ V μ ν ] = ∂ m V μ ν − Γ ρ m ν V ρ − Γ ρ m μ V ρ {\displaystyle \nabla _{m}[V_{\mu \nu }]=\partial _{m}V_{\mu \nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{m\nu }V_{\rho }-\Gamma ^{\rho }{}_{m\mu }V_{\rho }} リーマンテンソルの定式化のため、共変微分はランク 1 のテンソルに関しては二度とることとすると、方程式は次のようになる。 ∇ σ , μ V ν = ∇ σ [ ∇ μ V ν ] = ∇ σ [ ∂ μ V ν − Γ ρ μ ν V ρ ] {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla _{\sigma ,\mu }V_{\nu }&=\nabla _{\sigma }[\nabla _{\mu }V_{\nu }]\\&=\nabla _{\sigma }[\partial _{\mu }V_{\nu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }]\end{aligned}}} 共変微分のもうひとつの性質のため、 ∇ σ , μ V ν = ∇ σ [ ∂ μ V ν ] − ∇ σ [ Γ ρ μ ν V ρ ] {\displaystyle \nabla _{\sigma ,\mu }V_{\nu }=\nabla _{\sigma }[\partial _{\mu }V_{\nu }]-\nabla _{\sigma }[\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }]} となる。さらに、ランク 2 のテンソルに対する規則により、 ∇ σ , μ V ν = ( ∂ σ [ ∂ μ V ν ] − Γ ρ μ ν ∂ σ V ρ − Γ ρ σ ν ∂ μ V ρ − Γ ρ σ μ ∂ ρ V ν ) − ( ∂ σ [ Γ ρ μ ν V ρ ] − Γ α σ ν Γ ρ α μ V ρ − Γ α σ μ Γ ρ α ν V ρ ) {\displaystyle \nabla _{\sigma ,\mu }V_{\nu }=(\partial _{\sigma }[\partial _{\mu }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\partial _{\sigma }V_{\rho }-\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \mu }\partial _{\rho }V_{\nu })-(\partial _{\sigma }[\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }]-\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \nu }V_{\rho })} である。ここで、添字の σ {\displaystyle \sigma } と μ {\displaystyle \mu } を入れ替えると、 ∇ μ ; σ V ν = ( ∂ μ [ ∂ σ V ν ] − Γ ρ σ ν ∂ μ V ρ − Γ ρ μ ν ∂ μ V ρ − Γ ρ μ σ ∂ ρ V ν ) − ( ∂ μ [ Γ ρ σ ν V ρ ] − Γ μ ν α Γ ρ α σ V ρ − Γ μ σ α Γ ρ α ν V ρ ) {\displaystyle \nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=(\partial _{\mu }[\partial _{\sigma }V_{\nu }]-\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }\partial _{\mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma }\partial _{\rho }V_{\nu })-(\partial _{\mu }[\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }V_{\rho }]-\Gamma _{\mu \nu }^{\alpha }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \sigma }V_{\rho }-\Gamma _{\mu \sigma }^{\alpha }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \nu }V_{\rho })} を得る。 添字を入れ替える前の式から入れ替えた式を引き、クリストッフェル記号の対称性を思い起すと、 ∇ σ , μ V ν − ∇ μ ; σ V ν = ∂ μ Γ ρ σ ν V ρ − ∂ σ Γ ρ μ ν V ρ + Γ α σ ν Γ ρ α μ V ρ − Γ α μ ν Γ ρ α σ V ρ {\displaystyle \nabla _{\sigma ,\mu }V_{\nu }-\nabla _{\mu ;\sigma }V_{\nu }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }V_{\rho }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }V_{\rho }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \mu }V_{\rho }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \sigma }V_{\rho }} となる。これが求めている方程式で、この式に名前を付ける必要がある。 ∇ σ ∇ μ V ν − ∇ μ ∇ σ V ν = ( ∂ μ Γ ρ σ ν − ∂ σ Γ ρ μ ν + Γ α σ ν Γ ρ α μ − Γ α μ ν Γ ρ α σ ) V ρ {\displaystyle \nabla _{\sigma }\nabla _{\mu }V_{\nu }-\nabla _{\mu }\nabla _{\sigma }V_{\nu }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \mu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \sigma })V_{\rho }} 上式の左辺は3つの、右辺は4つの添字を持つことに注意すると、添字のペアにわたって和をとる必要がある。 R σ μ ν ρ V ρ = ( ∂ μ Γ ρ σ ν − ∂ σ Γ ρ μ ν + Γ α σ ν Γ ρ α μ − Γ α μ ν Γ ρ α σ ) V ρ {\displaystyle R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }V_{\rho }=(\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \mu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \sigma })V_{\rho }} 結局リーマン曲率テンソルは、 R σ μ ν ρ = ∂ μ Γ ρ σ ν − ∂ σ Γ ρ μ ν + Γ α σ ν Γ ρ α μ − Γ α μ ν Γ ρ α σ {\displaystyle R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }=\partial _{\mu }\Gamma ^{\rho }{}_{\sigma \nu }-\partial _{\sigma }\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \nu }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\sigma \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \mu }-\Gamma ^{\alpha }{}_{\mu \nu }\Gamma ^{\rho }{}_{\alpha \sigma }} となる。添字は行列を掛けることにより縮約することができ、テンソルを共変とすることができる。このことはアインシュタイン方程式 g ρ λ R σ μ ν λ = R ρ σ μ ν {\displaystyle g_{\rho \lambda }R_{\sigma \mu \nu }^{\lambda }=R_{\rho \sigma \mu \nu }} において有益であり、さらに分解すると、 g ρ μ R ρ σ μ ν = R σ ν {\displaystyle g^{\rho \mu }R_{\rho \sigma \mu \nu }=R_{\sigma \nu }} となる。このテンソルはリッチテンソルと呼ばれ、リーマンテンソルの中の添字 ρ {\displaystyle \rho } と μ {\displaystyle \mu } を同じとしそれらの和を取ることにより導出することができる。曲率スカラーはさらに進めることで次のように得られる。 g σ ν R σ ν = R {\displaystyle g^{\sigma \nu }R_{\sigma \nu }=R} 従って、ここで、3つの異なる対象を得たこととなる。 リーマン曲率テンソル: R σ μ ν ρ {\displaystyle R_{\sigma \mu \nu }^{\rho }} or R ρ σ μ ν {\displaystyle R_{\rho \sigma \mu \nu }} リッチテンソル: R σ ν {\displaystyle R_{\sigma \nu }} スカラー曲率: R {\displaystyle R} これらはすべてアインシュタインの場の方程式の解を計算する際に有益である。
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