クリストッフェル記号とは - わかりやすく解説 Weblio辞書

クリストッフェル記号

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/11/06 03:56 UTC 版)

リーマン幾何学において、クリストッフェル記号（クリストッフェルきごう、英: Christoffel symbols）またはクリストッフェルの三添字記号（クリストッフェルのさんそえじきごう、英: Christoffel three index symbols）とは、測地線の微分方程式を表すにあたってブルーノ・クリストッフェル (1829–1900) によって導入された記号を言う^[1]。

脚注

注釈

^ 詳しい導出は矢野(1949) p.121 参照。
^ クリストッフェル記号は、微分幾何学において実際的な計算を行うのに利用できる。例えば、リーマン曲率テンソルはクリストッフェル記号とその一階偏導函数の言葉で完全に表すことができる。
^ 台となる $n$ -次元多様体の各点で、任意の局所座標系に対して、クリストッフェル記号はサイズが $n \times n \times n$ の多次元配列であり、 $n 3$ の各成分は実数である。
^ 多様体上の線型な座標変換の下ではテンソルのように振舞うが、一般の座標変換の下では異なる挙動を示す。（与えられた座標系や計量テンソルがいくつかのよくある対称性を持つような）実用上の多くの問題において、クリストッフェル記号のほとんどの成分は 0 である。
^ 一般相対性理論において、クリストッフェル記号は重力ポテンシャルが「計量テンソル」であるような重力場の役割を果たす。
^ 一般にテンソルについては添字の上付きと下付き（反変と共変）とを注意して区別しなければならない。
^ このように $n$ 次元の微分多様体であって、各座標近傍内に基本計量テンソルが与えられているものをリーマン多様体と呼ぶ。
^ すなわち、接続の記号の具体的な表現が不明なまま形式的に共変微分が定義されている場合を指す。
^ なお、通常リーマン多様体 M 上の共変微分を定義する場合、定義の段階で接続の記号としてクリストッフェル記号を用いるのが一般的である。
^ ここで行列 ( $g jk$ ) は行列 (g_jk) の逆行列、すなわちクロネッカーのデルタと和の規約を用いて $g ji g ik = δ j k$ と定義されるものである。
^ 以後、 $x^{i}=x_{0}^{i}$ における値を示しているものについては右下に 0 をつける。
^ 余因子行列と行列式の間に
${\frac {\partial g}{\partial g_{ij}}}=G_{ij}$
の関係が成り立つため^[5]。

出典

^ E.B.Christoffel (1869), “Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 70: 46-70
^ 相対論(1958) p.75
^ 矢野(1949) p. 204.
^ 矢野(1949) pp.204-205
^ 現代代数学(1967) p.384