マンフォードの本

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マンフォードの本

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/11/15 02:00 UTC 版)

「幾何学的不変式論」の記事における「マンフォードの本」の解説

幾何学的不変式論はマンフォード(Mumford)の1965年に最初に出版された単行本により発見され発展した。この本では、ダヴィッド・ヒルベルトの結果を含む、現代代数幾何学の問題へ19世紀のアイデアを適用した（本は後日出版された第二版では、フォガルティ(Fogarty)とマンフォード(Mumford)により付録が付けられ、カーワン(Kirwan)によりシンプレクティック商の章が追加され、大きく拡張されている）。本はスキーム論と例の中で有効な計算機テクニックの双方を使っている。本の中で使われた抽象的な設定は、スキーム X 上の群作用という設定である。軌道空間(orbit space) G ∖ X つまり、群作用による X の商空間という単純な考え方のアイデアで、抽象的な説明が可能なある理由によって代数幾何学の困難さへ挑戦した。実際、何故、同値性が（厳密な）正則函数(regular function)（多項式函数）と相互作用するという理由は何もなく、このことは代数幾何学の心臓部である。考えるべき軌道空間 G ∖ X 上の函数は、G の作用の下で不変となる X 上の函数である。直接のアプローチは、函数体の方法（つまり、有理函数）により可能である。その上のG-不変（英語版）(G-invariant)な有理函数を、商多様体（英語版）(quotient variety)の函数体として取ることを考える。不幸にして、双有理幾何学の観点からは、これは求める答えの第一近似のみを与えることができる。マンフォードはこのことを本の序に記載している。 双有理類の全てのモデルの中での問題は、ある軌道の集合を分類する、あるいは、あるモジュライ問題の代数的軌道の集合を分類するような幾何学的点（英語版）(geometric point)を持つモデルが存在するかということである。 第 5章で彼は、取り分けて、特殊なテクニカルな問題を指摘した。そこでは、モジュライ問題では、準古典的タイプ -- つまり、非特異であることによってのみ全ての代数多様体を対象とした（他に代数多様体の偏極（英語版）(polarization)という条件でも分類する）大きな集合が分類されている。モジュライはパラメータ空間により表される。例えば、代数曲線に対して、リーマンの時代から次元 0, 1, 3, 6, 9, … である連結な要素が存在するであろうことが知られている。 種数 g =0, 1, 2, 3, 4, …, に従い、モジュライは各々の成分の上の函数である。粗いモジュライ問題（英語版）(coarse moduli problem)で、マンフォードは次の条件となるべき障害を考えている。 非分離的なモジュライ空間上のトポロジー（つまり、良い設定にはパラメータが不足している） 無限個の既約成分（これは避けられないが、局所有限性（英語版）(local finiteness)が保たれる） トポロジカルには見通せるが、スキームとして表現することに失敗する要素がある 理論全体の動機の第三の点について、もし最初の 2つが解決したらに続けて、マンフォードは次のように書いている。 [第三の問題] 射影群によりヒルベルトスキームや周スキーム（英語版）(Chow scheme)のある局所閉（英語版）(locally closed)部分集合の軌道が存在するかどうかという疑問と本質的同値となる。 これを扱うために、かれは安定性(stability)の考え（実際に三つ）を導入した。このことにより、以前には危険であった領域に彼が足を踏み入れることを可能となった。つまり、多くの数学者、特にフランチェスコ・セヴィリ（英語版）(Francesco Severi)が書いているように、文献の方法は限定的であった。双有理と言う観点は、余次元（英語版） 1 の部分集合について注意せずに前進することができる。スキームとしてモジュライ空間を得ることは、一方では、表現函手（英語版）(representable functor)としてスキームを特徴付ける問題（グロタンディエクスクールがこのことを研究したように）であるが、しかし幾何学的に安定性条件が明らかにしたように、コンパクト化の問題である。非特異多様体への限定は、モジュライ空間のいかなるいかなる意味においてもコンパクト空間を導かない。多様体は特異点を持つところへ退化することが可能だからである。他方では、高次の特異性を持つ多様体に対応する点は良くない性質を持っていて、答えを出しにくい。正しい中間的着地点は、許可される充分安定な点であり、このことがマンフォードの際立った仕事である。この考え方は全く新しいというわけではなく、そのある側面は、ダヴィッド・ヒルベルトが不変式論の分野を離れる以前の最後に考えたアイデアの中にあるからである。 本の序文にも、後日、ウィリアム・ハボウシュ（英語版）(William Haboush)により証明されたマンフォード予想（英語版）(Mumford conjecture)が言明してある。