0の0乗

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/04/27 01:29 UTC 版)

背景

実数 $x$ の正整数 $n$ 乗は、素朴には、 $n$ 個の $x$ を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。

{\begin{aligned}&(*)&x^{1}&:=x,\\&(**)&x^{n+1}&:=x^{n}\times x\quad (n\geq 1).\end{aligned}}

$x 0$ を定義する場合には、関係式 $(**)$ が $n = 0$ でも成立するように定義を拡張するのが自然である。

そこで、 $(**)$ に無理やり $n = 0$ を代入すれば、 $x 0 + 1 = x 0 \times x$ すなわち $x = x 0 \times x$ となり、 $x$ が $0$ でなければ両辺を $x$ で割って $x 0 = 1$ を得る。すなわち、 $x \neq 0$ の場合は、 $x 0 ≔ 1$ と定めることで、関係式 $(**)$ が $n\geq 0$ に対して成り立つように定義を拡張できる^{[注 2]}。さらに負の整数 $- n$ に対しても $x - n ≔ 1/ x n$ と定義すれば $(**)$ が満たされ、 $x \neq 0$ の整数乗がうまく定義されて、指数法則 $x n + m = x n x m$ や $x nm = (x n) m$ が任意の整数 $n, m$ に対して成立する。

次に、指数が実数の場合を考えよう。底が $x \neq 0$ の場合は、上述のように整数乗が定まるのであった。詳細は省略するが、底を $x > 0$ の場合に制限すれば、指数法則が成り立ったまま指数を有理数、さらには実数へと拡張し、連続な二変数関数を得ることができる。また、 $x = 0$ の場合に対する正の実数乗も、同様に連続性を理由として $0$ と定義することができる。

すなわち実数の実数乗 $x y$ は、底が $x \neq 0$ で指数 $y$ が整数であるか、底が $x > 0$ であるか、あるいは底が $x = 0$ で指数が $y > 0$ であればうまく定義でき、これら全ての点 $(x, y)$ で二変数関数として連続となる。しかし、 $x y$ は底が $x = 0$ のとき、指数が負の実数であればうまく定義できず、どのように $00$ を定義しても点 $(0, 0)$ で二変数関数として連続にはならない。言い換えれば、 $00$ を $x y$ が連続となるように定めることはできないのである。

脚注

注釈

^ $0$ と定義される場合もある。
^ $x = 0$ のときは $0 = 0 0 \times 0$ となってしまうため、 $00$ は任意の値で等式が成り立ち、この方針で $00$ を「自然」に定義することはできない。
^ この定義は半群における積の結合性より意味を持つ。
^ さらに $a$ が逆元を持つならば、それを $a -1$ と表記し、負の整数 $- n$ に対して $a - n = (a -1) n$ と表記する。
^ 整数の全体や実数の全体など、あるいは一般に単位元を持つ結合環は、乗法について零元を持つモノイドをなす。
^ ここに、 $x \to +0$ は x が正の方向から 0 に近付くことを表す。なお、負の数 y に対して 0^y は定義されない。
^ 具体的には、Visual Basic Editor (VBE) のイミディエイトウィンドウ上で ?0^0 と打ち、Enter を押すと 1 と出てくる。

出典

^ Knuth 1992.
^ グレアム, パタシュニク & クヌース 1993.
^ Grillet 1995, p. 6.
^ N. Bourbaki (2004). Theory of Sets. Elements of Mathematics. Springer. p. 164. ISBN 978-3-540-22525-6
^ Daniel W. Cunningham (2016). Set Theory: A First Course. Cambridge University Press. pp. 59, 221. ISBN 978-1-107-12032-7
^ sci.math FAQ: What is 0^0?
^ Rotando & Korn 1977.
^ Lipkin 2003.
^ 神保 2003, pp. 44–45.
^ "Since ln 0 does not exist, 0^z is undefined. For Re z > 0, we define it arbitrarily as 0."（ln 0 は存在しないから、0^z は定義されていない。Re z > 0 に対しては、0 と定義する。）(Carrier, Krook & Pearson 2005, p. 15)
^ "For z = 0, w ≠ 0, we define 0^w = 0, while 0⁰ is not defined."（z = 0, w ≠ 0 に対しては、0^w = 0 と定義するが、0⁰ は定義しない。）(Gonzalez 1991, p. 56).
^ Google電卓機能による 0^0の計算結果