0の0乗

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0の0乗

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/01/31 18:15 UTC 版)

0 の 0 乗（れいのれいじょう）は、累乗あるいは指数関数において、底を 0、指数を 0 としたものである。その値は、代数学、組合せ論などの文脈では通常 1 と定義される一方で、解析学の文脈では二変数関数 x^y が原点 (x, y) = (0, 0) において連続とならないため定義されない場合もある。

背景

実数 x の正整数 n 乗は、素朴には、n 個の x を掛け合わせたものである。厳密には、次のように再帰的に定められる。

${\begin{aligned}&(*)&x^{1}&:=x,\\&(**)&x^{n+1}&:=x^{n}\times x\quad (n\geq 1).\end{aligned}}$

関数 z = x^y をプロットしたもの。x と y が様々な関係を保って原点に接近するとき（赤や緑の曲線）、z は任意の極限値をとり得る。緑の曲線は、そのうちで z の極限が 1 となるものである。

冪を自然数ではなく実数の範囲で考え、0⁰ を二変数関数 x^y の x = y = 0 における値だと考えると、次のようになる。

二変数関数 x^y は、定義域を D = { (x, y) | x > 0 } ∪ { (0, y) | y > 0 }とした場合には、D 全体で連続となる。しかし、原点 (0, 0) を付け加えて、D′= D ∪ {(0, 0)} を定義域とした場合には、原点における値 0⁰ をどのように定義しても、原点において連続とはならない。それは、D' 内で（原点を通らず）原点に近づく経路によってその極限値が異なるからである。例えば、y 軸 (x = 0) に沿って原点に近づくときの極限値は

$\lim _{y\to +0}0^{y}=0$