超球面

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出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 05:07 UTC 版)

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この項目では、一般次元多様体について説明しています。

余次元 1 の多様体については「超球面 (超曲面)」をご覧ください。

直交射影としての 2 次元球面ワイヤフレーム

立体射影が球面の表面を平面に射影できるのと全く同じように、3 次元球面の表面も 3 次元空間に射影できる。このイメージは 3 次元空間に射影された 3 つの座標方向を示している： parallels（赤）、meridians（青）、hypermeridians（緑）。ステレオグラフ射影の等角性によって、曲線は 4 次元においてそうであるように互いに直交に（黄色の点で）交わる。曲線のすべては円である： <0,0,0,1> と交わる曲線は無限大の半径を持つ（＝直線）。

S^{n}=\{x\in \mathbb {R} ^{n+1}:\|x\|=r\}

によって定義される。これは (n + 1) 次元ユークリッド空間内に存在する n 次元多様体である。

特に：

零次元球面は二点、すなわち直線内の（一次元の対象である）線分の零次元の対象である端点の対、
一次元球面は円、すなわち平面内の（二次元の対象である）円板の一次元の対象である円周、
二次元球面は三次元空間における（三次元の対象である）球体の二次元の対象である表面

である。

次元 n > 2 の球面は超球面 (hypersphere)^{[注釈 1]} と呼ばれることがあり、3 次元球面は glome と呼ばれることがある。原点に中心のある半径 1 の n 次元球面は $n$ -次元単位球面または単位 n 次元球面 (unit n-sphere) と呼ばれ、Sⁿ と表記される。単位 n 次元球面はしばしば the n-sphere と呼ばれる。

n 次元球面は (n + 1) 次元球体の表面あるいは境界であり、n 次元多様体である。n ≥ 2 に対して、n 次元球面は正の定曲率（英語版）の単連結 n 次元多様体である。n 次元球面にはいくつかの他の位相的記述がある。例えば、2 つの n 次元ユークリッド空間を貼り合わせることによって、 $n$ -次元超立方体の境界を一点と同一視することによって、あるいは (n − 1) 次元球面の懸垂を（帰納的に）作ることによって構成できる。