超球面 球座標系

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超球面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 05:07 UTC 版)

球座標系

3 次元ユークリッド空間に対して定義される球面座標系に類する座標系を n 次元ユークリッド空間において定義できる。座標は動径座標 r と n − 1 個の偏角座標 $\phi _{1},\phi _{2},\dots ,\phi _{n-1}\,$ からなる、ただし $\phi _{n-1}\,$ は $[0,2\pi )\,$ ラジアン（あるいは [0, 360) 度）の範囲を動き、他の角度は $[0,\pi ]\,$ ラジアン（あるいは [0, 180] 度）の範囲を動く。$\ x_{i}$ が直交座標であれば、$x_{1},\ldots ,x_{n}$ を $r,\phi _{1},\ldots ,\phi _{n-1}$ から次によって計算できる：

${\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\&\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\,.\end{aligned}}$

下で述べる特別な場合を除いて逆変換は一意である：

${\begin{aligned}r&={\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}+{x_{1}}^{2}}}\\\phi _{1}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}=\arccos {\frac {x_{1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{1}}^{2}}}}\\\phi _{2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{3}}^{2}}}}=\arccos {\frac {x_{2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}}\\&\vdots \\\phi _{n-2}&=\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}=\arccos {\frac {x_{n-2}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+{x_{n-2}}^{2}}}}\\\phi _{n-1}&=2\operatorname {arccot} {\frac {x_{n-1}+{\sqrt {x_{n}^{2}+x_{n-1}^{2}}}}{x_{n}}}={\begin{cases}\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}\geq 0\\2\pi -\arccos {\frac {x_{n-1}}{\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}}&x_{n}<0\end{cases}}\,.\end{aligned}}$

ただし、ある k に対して $x_{k}\neq 0$ であるが $x_{k+1},\ldots ,x_{n}$ がすべて 0 であれば、$x_{k}>0$ のとき $\phi _{k}=0$ であり、$x_{k}<0$ のとき $\phi _{k}=\pi$ ラジアン（180度）である。

逆変換が一意でない特別な場合がある； $x_{k},x_{k+1},\ldots ,x_{n}$ がすべて 0 であるときにはいつでも、任意の k に対して $\phi _{k}$ は ambiguous になる； この場合 $\phi _{k}$ は 0 と選ぶことができる。

球面体積要素

ラジアンで角度を表すとき、n 次元ユークリッド空間における体積要素は変換

${\begin{aligned}d^{n}V&=\left|\det {\frac {\partial (x_{i})}{\partial (r,\phi _{j})}}\right|dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}\\[6pt]&=r^{n-1}\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,dr\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}\end{aligned}}$

のヤコビアンから見つかるだろう、そして n 次元球の体積の上記の等式は

$V_{n}=\int _{\phi _{n-1}=0}^{2\pi }\int _{\phi _{n-2}=0}^{\pi }\cdots \int _{\phi _{1}=0}^{\pi }\int _{r=0}^{R}d^{n}V\,$

を積分することによって再び得ることができる。(n − 1) 次元球面の体積要素は、2 次元球面の面積要素を一般化するが、

$d_{S^{n-1}}V=\sin ^{n-2}(\phi _{1})\sin ^{n-3}(\phi _{2})\cdots \sin(\phi _{n-2})\,d\phi _{1}\,d\phi _{2}\cdots d\phi _{n-1}$

によって与えられる。角度座標上の直交基底の自然な選択は j = 1, 2, ..., n − 2 に対してゲーゲンバウアー多項式

${\begin{aligned}&{}\quad \int _{0}^{\pi }\sin ^{n-j-1}(\phi _{j})C_{s}^{((n-j-1)/2)}(\cos \phi _{j})C_{s'}^{((n-j-1)/2)}(\cos \phi _{j})\,d\phi _{j}\\[6pt]&={\frac {\pi 2^{3-n+j}\Gamma (s+n-j-1)}{s!(2s+n-j-1)\Gamma ^{2}((n-j-1)/2)}}\delta _{s,s'}\end{aligned}}$

の積であり、角度 j = n − 1 に対して球面調和関数と一致して e ^isφ_j である。