超球面 立体射影

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超球面

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/23 05:07 UTC 版)

立体射影

3次元に埋め込まれた 2 次元球面が 2 次元平面の上へと立体射影によって写像できるのと全く同じように、n 次元球面は n 次元超曲面の上へと立体射影の n 次元バージョンによって写像することができる。例えば、半径 1 の 2 次元球面上の点 $\ [x,y,z]$ は xy 平面上の点 $\left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right]$ に写る。言い換えると、

$\ [x,y,z]\mapsto \left[{\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right].$

同様に、半径 1 の n 次元球面 $\mathbf {S} ^{n-1}$ のステレオグラフ射影は $\ x_{n}$ 軸に垂直な $n-1$ 次元超平面 $\mathbf {R} ^{n-1}$ に次のように写る

$[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]\mapsto \left[{\frac {x_{1}}{1-x_{n}}},{\frac {x_{2}}{1-x_{n}}},\ldots ,{\frac {x_{n-1}}{1-x_{n}}}\right].$