特異値分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2024/01/09 16:34 UTC 版)
幾何的な意味
行列 U と V はユニタリ行列だから、U の列ベクトル u1, …, um は、体 Km 上の正規直交基底を成し、V の列ベクトル v1, …,vn は、体 Kn 上の正規直交基底を成す。
ベクトル x を Mx に写す線形変換(線型写像) は、これらの正規直交基底を用いて簡単な形に表される。すなわち、, ここで i = 1, …, min(m, n) に対しては σi は Σ の i 番目の対角成分、i > min(m, n) に対し T(vi) = 0。
このことから、特異値分解定理の幾何的な意味は以下のように説明できる。線型写像 に対し、次のような性質を持つ正規直交基底 Km と Kn が存在する。ここに、T は Kn の i 番目の基底ベクトルを Km の i 番目の基底ベクトルについて σi 倍したものに写す。σi は負でない数。つまり、これらの基底を用いて、写像 T は、負でない数を成分に持つ対角行列で表される。
- ^ Autonne, L. (1915). Sur les matrices hypohermitiennes et sur les matrices unitaires (Vol. 38). Rey.
- ^ a b c d e 山本哲朗『数値解析入門』(増訂版)サイエンス社〈サイエンスライブラリ 現代数学への入門 14〉、2003年6月。ISBN 4-7819-1038-6。
- ^ a b c d Weisstein, Eric W. "Singular Value Decomposition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/SingularValueDecomposition.html
- ^ Golub & Van Loan 2013, Theorem 2.4.1 (Singular Value Decomposition).
- ^ Horn & Johnson 2013, Theorem 2.6.3 (Singular value decomposition).
- ^ 室田 & 杉原 2015, 第8章特異値と最小2乗法.
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