特異値分解 幾何的な意味

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特異値分解

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/01/09 16:34 UTC 版)

幾何的な意味

行列 U と V はユニタリ行列だから、U の列ベクトル u₁, …, u_m は、体 K^m 上の正規直交基底を成し、V の列ベクトル v₁, …,v_n は、体 Kⁿ 上の正規直交基底を成す。

ベクトル x を Mx に写す線形変換（線型写像）$T\colon K^{n}\to K^{m}$ は、これらの正規直交基底を用いて簡単な形に表される。すなわち、$T(v_{i})=\sigma _{i}u_{i}$, ここで i = 1, …, min(m, n) に対しては σ_i は Σ の i 番目の対角成分、i > min(m, n) に対し T(v_i) = 0。

このことから、特異値分解定理の幾何的な意味は以下のように説明できる。線型写像 $T\colon K^{n}\to K^{m}$ に対し、次のような性質を持つ正規直交基底 K^m と Kⁿ が存在する。ここに、T は Kⁿ の i 番目の基底ベクトルを K^m の i 番目の基底ベクトルについて σ_i 倍したものに写す。σ_i は負でない数。つまり、これらの基底を用いて、写像 T は、負でない数を成分に持つ対角行列で表される。