正規直交系 性質

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正規直交系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/11 14:43 UTC 版)

性質

完全正規直交系

完全正規直交系の性質を特徴付ける定理として、次の同値性が成り立つ。

定理

ヒルベルト空間 H の正規直交系 {e_n} に対し、以下は同値となる。

1. {e_n} が完全正規直交系をなす。
2. {e_n} の一次結合全体が H で稠密である。
3. （フーリエ級数） 任意の x ∈H について、

   $x=\sum _{n}\langle x,e_{n}\rangle e_{n}$

   が成り立つ。
4. （リース・フィッシャーの等式） 任意の x ∈H について、

   $\|x\|^{2}=\sum _{n}|\langle x,e_{n}\rangle |^{2}$

   が成り立つ。
5. （パーセバルの等式） 任意の x, y ∈H について、

   $\langle x,y\rangle =\sum _{n}\langle x,e_{n}\rangle \langle e_{n},y\rangle$

   が成り立つ。