正規直交系 正規直交化法による構成

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正規直交系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/11 14:43 UTC 版)

正規直交化法による構成

グラム・シュミットの正規直交化法を応用することで、一次独立なベクトルの集合から正規直交系を構成することができる。

直交多項式の例

ルジャンドル多項式

区間 [−1, 1] 上の関数列

$1,t,t^{2},\dots$

を L²([−1, 1]) で正規直交化することで、

$p_{n}(t)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\biggl (}n+{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{1/2}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}(t^{2}-1)^{n}\quad (n=0,1,2,\dots )$

からなる正規直交系 {p_n(t)} を得る。これはルジャンドル多項式 P_n(t) に規格化定数 (n + 1/2)^1/2 を乗じた直交多項式である:

$p_{n}(t)={\biggl (}n+{\frac {1}{2}}{\biggr )}^{1/2}P_{n}(t)$

エルミート多項式

R 上で一次独立な

$e^{-t^{2}/2},te^{-t^{2}/2},t^{2}e^{-t^{2}/2},\dots$

を L²(R) で正規直交化することで、

$h_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}(-1)^{n}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}e^{-t^{2}/2}\quad (n=0,1,2,\dots )$

からなる正規直交系 {h_n(t)} を得る。これはエルミート多項式 H_n(t) に (2π)^−1/4(n!)^−1/2e^−t2/2 を乗じた関数系である;

$h_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n!{\sqrt {2\pi }}}}}e^{-t^{2}/2}H_{n}(t)$

ラゲール多項式

[0, ∞) で一次独立な

$e^{-t/2},te^{-t/2},t^{2}e^{-t/2},\dots$

を L²([0, ∞)) で正規直交化することで、正規直交系

$l_{n}(t)={\frac {1}{n!}}e^{t/2}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}(e^{-t}t^{n})\quad (n=0,1,2,\dots )$

を得る。{l_n(t)} はラゲール多項式 L_n(t) に e^−t/2 を乗じた関数系である;

$l_{n}(t)=e^{-t/2}L_{n}(t)$