正規直交系 正規直交系の例

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正規直交系

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/09/11 14:43 UTC 版)

正規直交系の例

完全系の例

自乗総和可能数列空間の基底

n 番目の成分だけ 1 でそれ以外を 0 とする数列

$e_{n}=(0,0,\dots ,0,1,0,\dots )\quad (n=1,2,\dots )$

で与えられる {e_n} は l² 空間の完全正規直交系である。

三角関数系

定数関数 1/√2π と三角関数の列

${\frac {1}{\sqrt {2\pi }}},\,{\frac {\cos {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\cos {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\dots$

からなる {1/√2π, cos(nπt)/√π, sin(nπt)/√π }_n=1,2,… は、L²([−π, π]) で完全正規直交系である。

完全系でない例

正弦関数系

正弦関数の列

${\frac {\sin {\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {2\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\,{\frac {\sin {3\pi t}}{\sqrt {\pi }}},\dots$

からなる { sin(nπt)/√π }_n=1,2,… は、L²([−π,π]) で正規直交系をなすが、完全系ではない。実際、偶関数は { sin(nπt)/√π }_n=1,2,… では展開できない。

ラーデマッハ関数系

区間 [0, 1] 上でラーデマッハ関数は、

$r_{n}(t)=\operatorname {sgn} (\sin {2^{n}\pi t})\quad (n=0,1,2,\dots )$

で定義される。{r_n(t)} は L²([0, 1]) で正規直交系であるが、完全系ではない。