慣性モーメント 定義

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慣性モーメント

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/31 20:53 UTC 版)

定義

質点系がある回転軸まわりに一様な角速度ベクトル ω で回転するとき、質点系の持つ角運動量ベクトル L は次のように書ける。

${\boldsymbol {L}}=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times {\boldsymbol {r}}_{i}))=\sum _{i}m_{i}({\boldsymbol {\omega }}r_{i}^{2}-{\boldsymbol {r}}_{i}({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {\omega }}))$

ここでm_i は i 番目の質点の質量、r_i は回転軸上の原点との相対座標でありr_iはその大きさである。この式からわかるように、L は ω と向きは必ずしも一致しないが、ω を線形変換したものになっている。つまり、その線形変換をIとすると、

${\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {\omega }}$

と表せる。この変換 I は2階のテンソルであり、LとIの各成分は

${\begin{aligned}L_{j}&=\sum _{k=1}^{3}I_{jk}\omega _{k}\\I_{jk}&=\sum _{i}m_{i}\left(r_{i}^{2}\delta _{jk}-r_{i,j}r_{i,k}\right)\end{aligned}}$

という形に表される。ここに δ_jk はクロネッカーのデルタ、r_{i, j} はベクトル r_i の j 成分である。I を行列表示すると

${\boldsymbol {I}}=\sum _{i}{\begin{pmatrix}m_{i}(r_{i}^{2}-x_{i}^{2})&-m_{i}x_{i}y_{i}&-m_{i}x_{i}z_{i}\\-m_{i}y_{i}x_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-y_{i}^{2})&-m_{i}y_{i}z_{i}\\-m_{i}z_{i}x_{i}&-m_{i}z_{i}y_{i}&m_{i}(r_{i}^{2}-z_{i}^{2})\end{pmatrix}}$

となる。この定義から I は対称テンソルである。この2階のテンソル I を慣性モーメントテンソル、または簡単に慣性テンソルと呼ぶ。また、慣性テンソルの対角成分 I_xx、I_yy、I_zz を（それぞれ x、 y、 z 軸に関する）慣性モーメント係数（英: moment of inertia coefficient）と呼び、 I_xy、I_yz、I_zx は 慣性乗積（英: products of inertia）と呼ぶ。

なお、質量分布が連続的に広がっている場合には、その物体の慣性テンソルは密度 ρ を用いて

$I_{jk}=\int \rho ({\boldsymbol {x}})\left(|{\boldsymbol {x}}|^{2}\delta _{jk}-x_{j}x_{k}\right)d^{3}x$

となる。

ある軸まわりの慣性モーメント

物体をある回転軸まわりに回転させたとき、ωと同じ向きをもつ単位ベクトルnをもちいると、回転軸にそった角運動量成分は次のように与えられる。

${\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {L}}={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}\omega {\boldsymbol {n}})={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})\omega \equiv I\omega$

ここで、ω = |ω|は角速度の大きさである。

ここに与えられたスカラー量 $I={\boldsymbol {n}}\cdot ({\boldsymbol {I}}{\boldsymbol {n}})=\sum _{i}m_{i}(r_{i}^{2}-({\boldsymbol {r}}_{i}\cdot {\boldsymbol {n}})^{2})$ をその軸まわりの慣性モーメントと呼ぶ。

慣性主軸と主慣性モーメント

慣性テンソル行列は実対称行列なので、適当な直交座標系 { e₁, e₂, e₃ } を選ぶことで対角化（すなわち I_xy = I_yz = I_zx = 0 と）することができ、そのときの座標軸を慣性主軸、慣性モーメント { I₁, I₂, I₃ } を主慣性モーメントと呼ぶ。慣性主軸座標系では角運動量は

${\begin{pmatrix}L_{1}\\L_{2}\\L_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I_{1}&0&0\\0&I_{2}&0\\0&0&I_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\omega _{1}\\\omega _{2}\\\omega _{3}\end{pmatrix}}$

と単純に表すことができる。