公式 例

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公式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/11 11:18 UTC 版)

例

数学

• 展開・因数分解公式:

  $(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

  $(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

  $a^{n}-1=(a-1)(a^{n-1}+a^{n-2}+\cdots +a+1)$

  $(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}(=\sum _{k=0}^{n}{}_{n}{\text{C}}_{k}a^{n-k}b^{k})$

• 二次方程式 $ax^{2}+bx+c=0$ の解の公式:

  $x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

• ピタゴラスの定理:

  $c^{2}=a^{2}+b^{2}$

  $a,b,c$ は直角三角形の三辺の長さ。ただし $c$ を斜辺とする。

  この定理から三角関数における次の等式も導かれる。

  $\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1$

• ヘロンの公式

  $S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}$

  $a,b,c$ は三角形の三辺の長さ。この三角形の面積を $S$ とする。

  ここで、$s$ は半周長で、次式で定義される。

  $s={\frac {a+b+c}{2}}$

• 複素解析におけるオイラーの公式: $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$
• スターリングの近似

  $n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({n \over e}\right)^{n}.$

  ただし、$n$ は自然数で、$n!$ は $n$ の階乗を表す。

• 三角関数の加法定理（加法公式）

  $\sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

  $\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$

  $\cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

  $\cos(\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$

  $\tan(\alpha +\beta )={\frac {\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

  $\tan(\alpha -\beta )={\frac {\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$

• 余弦定理

  △ABC で a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA とするとき、

  a² = b² + c² − 2bc cos α

  b² = c² + a² − 2ca cos β

  c² = a² + b² − 2ab cos γ

• ベクトル解析におけるストークスの定理

  $\iint _{S}\mathrm {rot} \,{\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {n}}dS=\oint _{\partial S}{\boldsymbol {A}}\cdot d{\boldsymbol {s}}$

物理学

物理法則を表した基礎方程式が広く知られる。

• ニュートンの運動方程式

  $m{\frac {d^{2}{\boldsymbol {r}}}{dt^{2}}}={\boldsymbol {F}}$

• マクスウェルの方程式

  ガウスの法則 $\mathrm {div} \,{\boldsymbol {D}}=\rho$

  ガウスの法則 $\mathrm {div} \,{\boldsymbol {B}}=0$

  ファラデーの電磁誘導の法則 $\mathrm {rot} \,{\boldsymbol {E}}=-{\frac {\partial {\boldsymbol {B}}}{\partial t}}$

  アンペールの法則 $\mathrm {rot} \,{\boldsymbol {H}}=j+{\frac {\partial {\boldsymbol {D}}}{\partial t}}$