ロジスティック方程式 式の解

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ロジスティック方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/02/06 07:14 UTC 版)

式の解

ロジスティック曲線

マルサスモデルによる指数関数的増加曲線（赤）とロジスティック曲線（青）の比較

ロジスティック方程式は非線形の微分方程式だが、標準的な微分方程式の解法である変数分離法を利用して解くことができる[50]。時間 t = 0 における初期個体数を N0 とすると、t の関数として以下の解が得られる[51][注釈 1]。

いくつかの N0 から始まるロジスティック曲線。N > 0 の範囲では、時間の経過に従って N は K に収束する。
時間と個体数が負の場合も含めたロジスティック曲線の全体図。縦軸を N/K、横軸を rt として無次元化している。

横軸を t、縦軸を N とした平面上にロジスティック関数のグラフを描くと、曲線が描かれる。この曲線は前述のとおりにロジスティック曲線と呼ばれる。初期個体数が3つの範囲 N0 < 0, 0 < N0 < K, K < N0 のどれに該当するかによって、曲線の形状は大きく異なってくる[57]。ただし、N0 < 0 の範囲は負の個体数というものを意味するので、生物のモデルとしてはあまり意味がない[56]。時間 t = 0 から t → ∞ の極限までのロジスティック曲線の様相は、それぞれの N0 の値ごとに、以下のようになっている。

まず N0 が環境収容力の半分以下（0 < N0 < K/2 ）の場合、初期状態の点 (t = 0, N = N0) から始まる曲線は、ゆっくりと右肩上がりに登っていく[58]。t が増加するにつれて、曲線の傾き（個体数増加率）は増加していき、曲線は加速度的に立ち上がっていく[48]。しかし、ある時点で曲線は変曲点を迎え、傾きの増加は止む[59]。その後は、傾きは減少しだし、曲線は横倒しになっていく[60]。そして最終的には、傾きは0になり、曲線は水平な直線となる[48]。結局、曲線は、変曲点前では下に凸の曲線、変曲点後では上に凸の曲線となっており、全体としてアルファベットのSのような形を描く[48]。このため、S字型曲線やシグモイド曲線という名称でも呼ばれる[49]。間にある変曲点は個体数増加率が最大となる点で、前述の dN/dt と N のグラフの頂点に相当する[48]。変曲点における個体数は前述のとおり N = K/2 で、このときの時間は t = ln (K/N0 - 1)/r である[42]。ここで ln は自然対数である。最終的に t → ∞ で漸近する水平な直線は N = K の直線であり、時間が経過すると最終的には、個体数は環境収容力の値に収束するということである[48]。

初期個体数が N0 = K/2 の場合は、曲線は最初から変曲点から始まる。K/2 < N0 < K のときは最初から変曲点を過ぎた曲線になる[48]。 初期個体数が環境収容力に一致している場合、N0 = K のときは、その値のまま一定となる[46]。N0 = 0 のときも同様に、N = 0 のままである[46]。

次に、初期個体数が環境収容力を上回っているとき、すなわち N0 > K の場合は、この場合の曲線はS字型ではなく、全体として下に凸の曲線となる[48]。N は N0 から単調に減少しつづけ、この場合も、時間経過に従って K に収束していく[55]。

以上をまとめると、N0 > 0 であれば（個体が存在してさえいれば）、どんな初期個体数であっても、個体数は最終的に常に環境収容力の値に収束していくということである[48]。あるいは、N0 = 0 であれば（個体が存在してなければ）、個体数は 0 のままということである[48]。

最後に、生物個体数のモデルとしては無意味であるが N0 < 0 の場合も見てみると、この場合 N は時間発展に従って減少し続け、有限時間内で −∞ へ発散する曲線を描く[56]。

平衡状態の安定性

上記で、N = 0 および N = K のときはいくら時間が経過しても個体数 N は増加も減少もしないことから、これらの状態を平衡状態や定常状態と呼ぶことを説明した。平衡状態では、N = 0 または N = K という一点に留まり続ける。数学の力学系分野では、このような点を不動点や平衡点と呼ぶ[61]。平衡状態には安定な平衡状態と不安定な平衡状態がある[62]。安定な平衡状態とは、 その平衡状態の点から少しずれたとしても、時間が経過すれば平衡状態へ戻り、収束することを意味している[62]。また、不安定な平衡状態とは、平衡状態の点から少しずれたとき、時間経過すると平衡状態とのズレはどんどん大きくなっていき、平衡状態に戻らないことを意味している[63]。ロジスティック方程式の場合は、N = K 時の平衡状態が安定、N = 0 時の平衡状態が不安定となっている[64]。すなわち、初期個体数 N0 が K または 0 であれば、時間経過によらず常に同じ値を取り続けることは同じだが、N0 が平衡状態から少しずれたときの挙動は正反対となる[65]。

ロジスティック曲線とその傾きのベクトル場の様子

この安定・不安定の様子は、ロジスティック曲線の傾きをベクトル場として表すことで読み取ることができる[57]。時間経過に従って、全ての解は、これらのベクトルの矢印に沿って動いていく[66]。初期個体数が N0 > 0 であれば、t → ∞ で N は K に収束し、N0 < 0 であれば、t → ∞ で N は −∞ に発散することが分かる[57]。

N と dN/dt の関係曲線。N 軸と曲線の交点が平衡状態の点で、右が安定な点、左が不安定な点である。

あるいは、上記で説明した個体数 N と増加率 dN/dt の関係曲線からも、安定か不安定かの判別が可能である[67]。N = K の点の右側に点があるとき、dN/dt の値は負なので、N は減少していき、K に近づくことになる。N = K の点の左側に点があるときは、dN/dt は正なので、N は増加していき、同じく K に近づくことになる[47]。N = 0 の点についても、左右にずれたときの dN/dt の値の正負から、0 の点から離れていくことが理解できる[47]。

あるいは、安定性理論における線形安定性解析の考えにもとづいて、より一般的に安定性を判別することもできる。dN/dt = f(N) 、その N による微分を d(f(N))/dN = f ′(N)、平衡状態の点を Ne と置くとする。このとき、f ′(Ne) < 0 ならば Ne は安定な平衡点で、f ′(Ne) > 0 ならば Ne は不安定な平衡点であると判別できる[68]。ロジスティック方程式の場合は、

なので、

となり、f ′(K) = −r < 0, f ′(0) = r > 0 となることが確認できる[69]。


脚注

注釈

  1. ^ 一例として以下のように解くことができる。N の値の範囲を 0 < N < K に限定して解く方法と[50]、特に限定せずに解く方法がある[52]。ここでは範囲を限定しない解き方を示す。まずロジスティック方程式を変数分離変形して
    を得る。さらに左辺を部分分数分解すれば
    となる。両辺を積分して
    となり、ここで C は積分定数である。両辺の指数をとり、絶対値を外せば
    となる。t = 0 のときの N の値を N0 で表せば
    なので、これを上式に代入して
    となる。式を整理して
    となる。

出典

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  195. ^ スチュアート 2012, p. 342.
  196. ^ ティェンイェン・リー、ジェームス・A・ヨーク「第10章 区間上のカオスを探索する」『カオスはこうして発見された』ラルフ・エイブラハム、ヨシスケ・ウエダ （編） 稲垣耕作、赤松則男（訳）（初版）、共立出版、2002年、169-170頁。ISBN 4-320-03418-X。 

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