ロジスティック方程式 名称の由来

ウィキペディア
索引トップ 用語の索引 ランキング カテゴリー
ウィキペディアウィキペディア

ロジスティック方程式

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/05/01 01:58 UTC 版)

名称の由来

フェルフルストは、1845年の論文で、"Nous donnerons le nom de logistique à la courbe"（参考訳：私たちはその曲線にロジスティック "logistique" という名前を与える）と述べ[113]、ロジスティック方程式の解による曲線を logistique と名付けた[42]。これが、式が"ロジスティック"方程式、その解曲線が"ロジスティック"曲線と呼ばれる由来である[114]。しかし、フェルフルストは logistique という語を使った理由を説明しなかったので、それ以上の由来は分かっていない[115][39][2]。

logistique と名付けられた理由のいくつかの推測は存在する。ベルギー王国陸軍士官学校の数学教授のHugo Pastijnは、実際の理由は不明と断った上で、

  • 陸軍大学に勤めていたフェルフルストも馴染みが有ったであろう「兵站」の意味と関連付けて logistique と名付けたのではないか
  • フェルフルストのモデルでも扱われる人口のための限られた資源と関連させて、「住居」を意味するフランス語の logis から名付けたのではないか

と、ありえそうな理由を2点ほど推測している[115]。また、19世紀当時のフランスでは、logistique には「計算に巧みな」「計算の技巧」といった意味での用例があった点も指摘されている[116]。

モデルの拡張・応用

既に述べたとおり、ロジスティック方程式を基本にすえて、様々なモデルが提案されてきた。以下では、そのようなモデルの拡張・応用の例を説明する。

捕獲の影響

人間が資源として利用するための捕獲や収穫は、その種を絶滅させる可能性もあるほどの大きな影響を持っている[45]。漁業分野では、水産資源を獲りつくさないように資源・漁業管理する必要性が認識されている[117]。持続可能な漁業のためには、人間による漁獲量が漁獲対象の自然増加量を上回らないようにする必要がある[118]。漁獲量と自然増加量が一致するとき資源は一定に保たれるので、このときの漁獲量を持続生産量と呼ぶ[118]。さらに、可能な持続生産量の中でも最大のものを最大持続生産量（英語版）（MSY）と呼び、漁獲基準の一つの目安とされている[119]。

この最大持続生産量の値をロジスティック方程式を利用して定量化するモデルを、ジェーファーのプロダクションモデルなどと呼ぶ[118]。漁獲量（漁獲速度）を Y とすれば、次のように、ロジスティック方程式で表される個体数増加率（自然増加率）から Y を差し引いた値が実際の増加率となる[45]。

ロトカ・ヴォルテラの競争式では係数の値がある範囲内のときのみ2種が共存し（図の3）、それ以外ではどちらかが絶滅する（図の1, 2, 4）[124]。
「競争 (生物)」および「ロトカ・ヴォルテラの競争方程式」も参照

ロジスティック方程式は環境内に1種のみが存在するときの（あるいは1種とみなせるときの）モデルだが、実際の環境では複数以上の種が生息している[125]。複数の種が存在するとき、それぞれの種の間には競争や相利共生、捕食-被食などの関係が存在して、それぞれの個体数が互いの個体数増加率に影響を与える[126]。その中でも特に、環境内に競争関係にある2種が存在する場合にロジスティック方程式を拡張させたものとして、以下のロトカ・ヴォルテラの競争方程式が知られる[127]。

ヒツジキンバエ。ロバート・メイが時間遅れを持つロジスティック方程式でこのハエの個体数変動の解析を行った。

ロジスティック方程式では、ある時刻の個体数 N(t) が同時刻の個体数増加率 dN(t)/dt に瞬間的に影響を与えるというモデルになっている[29]。しかし、妊娠期間や性成熟までの期間などが存在するため瞬間的に影響が出るというのは非現実的でもある[131]。よって、モデルの中に影響の時間遅れを含ませることが考えられる。遅延時間を T とすると、ロジスティック方程式に時間遅れの効果を取り込んだモデルとして

離散時間型モデルの場合の個体数の変化の様子。いずれも K と N0 の値は同じだが、青が r = 0.6、赤が r = 2.1、緑が r = 3 のときを示している。
「ロジスティック写像」も参照

ロジスティック方程式では、時間 t を連続な実数として個体数変動をモデル化した。しかし、世代の交代が同期的に起こり、世代の重なりがないようなときには、時間を飛び飛びの時間間隔（離散時間）でモデル化する方が妥当である[138]。ロジスティック方程式型の離散時間モデルにはいくつかの種類があるが、一例として次のような差分方程式がある[139]。

ここで、n は世代で、n = 1世代, 2世代, 3世代,... といったような飛び飛びの時間間隔を意味している。Nn は、n 世代における個体数 N を意味している[139]。上式と数学的には等価だが、ロジスティック写像と呼ばれる、次の形式での差分方程式もよく知られている[140]。

これらの差分方程式はロジスティック方程式と一見似ているが、解の様相は全く異なり、個体数の変動はロジスティック方程式よりも遥かに複雑な振る舞いを見せるようになる[141]。r（または a）が小さい内は、これらの解はロジスティック方程式と同じように安定な平衡状態に収束する[142]。r が大きくなってくると、個体数は多くなったり少なくなったりを交互に繰り返すようになる。さらに r が大きくなると、カオスと呼ばれる非周期的で極めて複雑な振る舞いを起こすようになる[143]。

また、京都大学の森下正明が発案した次のような差分方程式がある[144]。

ここで、Δt を差分時間間隔として、a と b は

である。通常、差分化を行うと元の方程式の解と誤差が生じる[145]。しかしこの方程式では誤差を全く生じさせない[140]。得られる解は離散的だが、その解はロジスティック方程式の解と一致し、解を N-t 平面上に描けば、ロジスティック曲線上に正確にプロットされる[146]。

生物個体数以外での例

本来の導入目的であった生物の個体数の変動以外にも、ロジスティックモデルがしばし使用される。興味対象の何かの変量が時間発展とともにS字型の曲線を描くようなときに、この式がよく当てはまる[147]。水産資源管理の例では、生物の体の大きさの成長曲線にロジスティック曲線を当てはめることがある[148]。また、人間の集団の中で無形なものが広まる様子を表すのにもロジスティックモデルが使われることがある。例えば、新技術の社会・産業全体への普及[149][150]、ある集団の中での噂の拡散[151]がある。

また、時間変化ではないが、統計学においてはロジスティック関数と同形式の累積分布関数 f(x) を持つ連続確率分布が用いられている。これをロジスティック分布と呼ぶ[152]。人工ニューラルネットワークの研究で使われるシグモイド関数の一つとしてもロジステック関数が利用されている[153]。

他形式

上記ではロジスティック方程式を

と表したが、これ以外の表現もある。いずれも数学的には等価だが、その導出過程における生態学的意味づけは様々である[154]。 k = r / K と置いて、ロジスティック方程式は

とも表される[155]。k はVerhulst-Pearl係数や種内競争係数と呼ばれる[156]。個体群密度が増加率を減少させる影響の強さを k が表しているといえる[157]。

他には、変数を N = N/K と置きなおして、すなわち個体数ではなく環境収容力に対する個体数の割合を変数として

という形式もある[158]。

非線形のロジスティック関数を扱いやすくするために線形の対数関数に変換する、フィッシャ・プライ変換（英語：Fisher-Pry transform）と呼ばれる次のような変換もある[150]。

ここで FP = N とすると、ロジスティック関数のパラメータとの関係は K = 1, r = b, N0 = ea/(1 + ea) である。


脚注

注釈

  1. ^ 一例として以下のように解くことができる。N の値の範囲を 0 < N < K に限定して解く方法と[50]、特に限定せずに解く方法がある[52]。ここでは範囲を限定しない解き方を示す。まずロジスティック方程式を変数分離変形して
    を得る。さらに左辺を部分分数分解すれば
    となる。両辺を積分して
    となり、ここで C は積分定数である。両辺の指数をとり、絶対値を外せば
    となる。t = 0 のときの N の値を N0 で表せば
    なので、これを上式に代入して
    となる。式を整理して
    となる。

出典

  1. ^ a b Strogatz 2015, p. 25.
  2. ^ a b c 大澤光『社会システム工学の考え方』（初版）オーム社、2007年、193-194頁。ISBN 978-4-274-06675-7。 
  3. ^ スチュアート 2012, p. 78.
  4. ^ a b c 巌佐庸『生命の数理』（初版）共立出版、2008年2月25日、2-3頁。ISBN 978-4-320-05662-6。 
  5. ^ a b c d 西村欣也『生態学のための数理的方法―考えながら学ぶ個体群生態学』文一総合出版、2012年、168-169頁。ISBN 978-4-8299-6520-7。 
  6. ^ K.T.アリグッド; T.D.サウアー; J.A.ヨーク 著、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏 訳、シュプリンガー・ジャパン 編『カオス　第2巻　力学系入門』津田一郎（監訳）、丸善出版、2012年、92頁。ISBN 978-4-621-06279-1。 
  7. ^ ティーメ 2006, p. 38.
  8. ^ 稲岡毅『基礎からの微分方程式―実例でよくわかる』森北出版、2012年、22-23頁。ISBN 978-4-627-07671-6。 
  9. ^ Hirsch et al. 2007, pp. 4–7.
  10. ^ a b c マレー 2014, p. 1.
  11. ^ スチュアート 2012, p. 333.
  12. ^ 日本数理生物学会（編） 2008, p. 61.
  13. ^ 日本数理生物学会（編） 2008, p. 181; 寺本 1997, p. 2.
  14. ^ 大串 2014, p. 49.
  15. ^ 寺本 1997, pp. 2–3.
  16. ^ 瀬野 2007, p. 1.
  17. ^ 巌佐 1990, p. 2.
  18. ^ 山口 1992, p. 59.
  19. ^ ブラウン 2012, p. 30.
  20. ^ a b c d Jonathan W. Silvertown 著、河野昭一・高田壮典・大原雅 訳『植物の個体群生体学 第2版』（初版）東海大学出版会、1992年、49-50頁。ISBN 4-486-01157-0。 
  21. ^ ハーバーマン 1992, p. 13.
  22. ^ a b 渡辺 2012, pp. 50–51.
  23. ^ 寺本 1997, pp. 4–5.
  24. ^ 巌佐 2015, p. 17.
  25. ^ 山本将史『Excelで学ぶ微分積分』オーム社、2012年、264頁。ISBN 978-4-274-06888-1。 
  26. ^ 人口研究会（編） 2010, pp. 281–282; マレー 2014, p. 38.
  27. ^ マレー 2014, pp. 1–2.
  28. ^ a b c 巌佐 1990, p. 4.
  29. ^ a b 日本生態学会（編） 2004, p. 125.
  30. ^ 日本生態学会（編） 2004, p. 123.
  31. ^ 巌佐 2015, p. 21.
  32. ^ 寺本 1997, p. 8.
  33. ^ 渡辺守『昆虫の保全生態学』（初版）東京大学出版会、2007年12月20日、39-40頁。ISBN 978-4-13-062215-8。 
  34. ^ 寺本 1997, pp. 10–11.
  35. ^ 瀬野 2007, pp. 11, 13–14; コーエン 1998, p. 112.
  36. ^ 瀬野 2007, p. 14.
  37. ^ コーエン 1998, p. 112; マレー 2014, p. 2.
  38. ^ 渡辺 2012, p. 51.
  39. ^ a b c 瀬野 2007, p. 20.
  40. ^ a b 日本数理生物学会（編） 2008, p. 4.
  41. ^ ミンモ・イアネリ、稲葉寿、國谷紀良『人口と感染症の数理―年齢構造ダイナミクス入門』（初版）東京大学出版会、2014年、52頁。ISBN 978-4-13-061309-5。 
  42. ^ a b c d e f 人口研究会（編） 2010, p. 307.
  43. ^ ティーメ 2006, p. 66.
  44. ^ 大串 2014, p. 57.
  45. ^ a b c d 寺本 1997, p. 22.
  46. ^ a b c マレー 2014, p. 3.
  47. ^ a b c d e Hirsch et al. 2007, p. 6.
  48. ^ a b c d e f g h i j k l Strogatz 2015, p. 26.
  49. ^ a b スチュアート 2012, p. 335.
  50. ^ a b 山口 1992, pp. 62–65.
  51. ^ スチュアート 2012, p. 417.
  52. ^ 小寺忠・長谷川健二『工学系学生のための常微分方程式』（第2版）森北出版、2006年、44-46頁。ISBN 978-4-627-07452-1。 
  53. ^ 和田光平『人口統計学の理論と推計への応用』（初版）オーム社、2015年、31-34頁。ISBN 978-4274217166。 
  54. ^ 日本生物物理学会 編『数理生態学』巌佐庸（担当編集委員）（初版）、共立出版〈シリーズ・ニューバイオフィジックス (10)〉、1997年、33頁。ISBN 4-320-05473-3。 
  55. ^ a b c d 寺本 1997, p. 10.
  56. ^ a b c Hirsch et al. 2007, p. 5.
  57. ^ a b c Hirsch et al. 2007, pp. 5–6.
  58. ^ 山口 1992, pp. 65–66.
  59. ^ ブラウン 2012, p. 34.
  60. ^ a b 山口 1992, p. 65.
  61. ^ Strogatz 2015, p. 19; Hirsch et al. 2007, p. 2.
  62. ^ a b 巌佐 2015, p. 23.
  63. ^ マレー 2014, p. 5.
  64. ^ Strogatz 2015, pp. 25–26.
  65. ^ 巌佐 2015, pp. 22–23.
  66. ^ K.T.アリグッド; T.D.サウアー; J.A.ヨーク 著、星野高志・阿部巨仁・黒田拓・松本和宏 訳、シュプリンガー・ジャパン 編『カオス　第2巻　力学系入門』津田一郎（監訳）、丸善出版、2012年、94頁。ISBN 978-4-621-06279-1。 
  67. ^ a b 巌佐 2015, p. 24.
  68. ^ マレー 2014, p. 5; Strogatz 2015, p. 28.
  69. ^ Strogatz 2015, p. 29.
  70. ^ 瀬野 2007, pp. 5, 21–22.
  71. ^ マレー 2014, p. 37.
  72. ^ 山口 1992, p. 71.
  73. ^ a b コーエン 1998, p. 112.
  74. ^ ティーメ 2006, p. 7.
  75. ^ Strogatz 2015, p. 27; コーエン 1998, p. 112.
  76. ^ 巌佐 2015, p. 24; コーエン 1998, p. 116; Strogatz 2015, p. 27.
  77. ^ a b c 山口 1992, p. 66.
  78. ^ a b Gause, G. F. (1932). “Experimental Studies on the Struggle for Existence”. Journal of Experimental Biology (The Company of Biologists Ltd) 9 (4): 389-402. ISSN 1477-9145. http://jeb.biologists.org/content/9/4/389. 
  79. ^ a b スチュアート 2012, pp. 335–336.
  80. ^ 渡辺 2012, p. 53.
  81. ^ a b c d 内田 1972, p. 29.
  82. ^ 山口 1992, pp. 67–68.
  83. ^ G. F. Gause. The Struggle for Existence, p. 106, - Google ブックス
  84. ^ 山口 1992, pp. 67–69.
  85. ^ 巌佐 1990, p. 6.
  86. ^ Gause, G. F. (2003 (original 1934)). The Struggle for Existence (Dover Phoenix Editions ed.). Dover Pubns. p. 77. ISBN 0-486-49520-5. https://books.google.co.jp/books?id=v01OToAhJboC&lpg=PP1&hl=ja&pg=PA77#v=onepage&q&f=false 
  87. ^ 山口 1992, pp. 69–71; Strogatz 2015, p. 27.
  88. ^ a b Strogatz 2015, p. 27.
  89. ^ a b 山口 1992, pp. 69–71.
  90. ^ 内田 1972, pp. 27–29.
  91. ^ 内田 1972, pp. 27–28.
  92. ^ 内田 1972, p. 27.
  93. ^ a b 内田 1972, p. 28.
  94. ^ Kingsland 1982, p. 44.
  95. ^ a b c 伊藤嘉昭『生態学と社会―経済・社会系学生のための生態学入門』（初版）東海大学出版会、1994年、48–51頁。ISBN 4-486-01272-0。 
  96. ^ 大串 2014, pp. 53–54.
  97. ^ レーヴンほか 2007, p. 1151.
  98. ^ Kingsland 1982, p. 30.
  99. ^ a b Kingsland 1982, p. 31.
  100. ^ コーエン 1998, p. 113–115.
  101. ^ 山口 1992, pp. 58–59.
  102. ^ a b コーエン 1998, p. 115.
  103. ^ 寺本 1997, p. iii.
  104. ^ 巌佐 2015, p. 25.
  105. ^ 山口 1992, p. 66; スチュアート 2012, p. 336.
  106. ^ マレー 2014, p. 3; Strogatz 2015, p. 27.
  107. ^ コーエン 1998, p. 116より引用.
  108. ^ Kingsland 1982, p. 36.
  109. ^ 人口研究会（編） 2010, p. 74; コーエン 1998, p. 144.
  110. ^ 山重慎二・加藤久和・小黒一正『人口動態と政策―経済学的アプローチへの招待』（第1版）日本評論社、2013年9月10日、28頁。ISBN 978-4-535-55750-5。 
  111. ^ マレー 2014, p. 4.
  112. ^ 渡辺 2012, p. 56.
  113. ^ Verhulst, Pierre-François (1845). “Recherches mathématiques sur la loi d'accroissement de la population”. Nouveaux Mémoires de l'Académie Royale des Sciences et Belles-Lettres de Bruxelles 18: 1–42. http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/?PPN=PPN129323640_0018&DMDID=dmdlog7. のp. 8より引用
  114. ^ 人口研究会（編） 2010, p. 307; 瀬野 2007, p. 20.
  115. ^ a b O'Connor, John J; Robertson, Edmund F (2014年1月). “Pierre François Verhulst”. MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. 2015年12月17日閲覧。 出典での引用元は、Pastijn, Hugo (2006). “Chaotic Growth with the Logistic Model of P.-F. Verhulst”. The logistic map and the route to chaos: From the beginnings to modern applications, Understanding Complex Systems. Springer Berlin Heidelberg. pp. 3-11. doi:10.1007/3-540-32023-7_1. ISBN 978-3-540-28366-9. http://link.springer.com/chapter/10.1007/3-540-32023-7_1 
  116. ^ 寺本 1997, p. 10; 人口研究会（編） 2010, p. 307.
  117. ^ 北原（編） 2003, pp. 1–2.
  118. ^ a b c d e f 白山義久・桜井泰憲・古谷研・中原裕幸・松田裕之・加々美康彦 編『海洋保全生態学』講談社、2012年、172-174頁。ISBN 978-4-06-155231-9。 
  119. ^ 北原（編） 2003, p. 244.
  120. ^ 日本数理生物学会（編） 2008, p. 187.
  121. ^ 寺本 1997, p. 23.
  122. ^ a b 島一雄・關文威・前田昌調・木村伸吾・佐伯宏樹・桜本和美・末永芳美・長野章・森永勤・八木信行・山中英明 編『最新　水産ハンドブック』講談社サイエンティフィク、2012年、114頁。ISBN 978-4-06-153736-1。 
  123. ^ 日本数理生物学会（編） 2008, p. 188.
  124. ^ ハーバーマン 1992, pp. 130–136.
  125. ^ 巌佐 1990, p. 13.
  126. ^ マレー 2014, p. 65.
  127. ^ 大串 2014, p. 66.
  128. ^ a b 日本生態学会（編） 2004, p. 133.
  129. ^ 巌佐 1990, p. 15.
  130. ^ ハーバーマン 1992, p. 134.
  131. ^ a b マレー 2014, p. 12.
  132. ^ Ruan, S. (2006). “DELAY DIFFERENTIAL EQUATIONS IN SINGLE SPECIES DYNAMICS”. In Arino, O.; Hbid, M.L.; Dads, E. Ait. Delay Differential Equations and Applications: Proceedings of the NATO Advanced Study Institute held in Marrakech, Morocco, 9-21 September 2002 (1 ed.). Springer Netherlands. pp. 479. doi:10.1007/1-4020-3647-7 
  133. ^ 日本数理生物学会（編） 2008, p. 67.
  134. ^ 日本数理生物学会（編） 2008, p. 68.
  135. ^ ハーバーマン 1992, pp. 46–47.
  136. ^ 日本数理生物学会（編） 2008, pp. 70–71.
  137. ^ マレー 2014, pp. 13–14.
  138. ^ 寺本 1997, p. 11.
  139. ^ a b 巌佐 1990, p. 49.
  140. ^ a b ウィロックス, ラルフ「自然現象の離散・超離散系によるモデル化」『応用力学研究所研究集会報告 No.22AO-S8』、九州大学応用力学研究所、2011年3月、3頁、doi:10.15017/23387。 
  141. ^ Hirsch et al. 2007, p. 347.
  142. ^ 巌佐 1990, p. 51; マレー 2014, p. 44.
  143. ^ 巌佐 1990, p. 53; マレー 2014, pp. 44–47.
  144. ^ Masaaki Morisita (6 1965). “The fitting of the logistic equation to the rate of increase of population density”. Researches on Population Ecology (Springer-Verlag) 7: 52–55. doi:10.1007/BF02518815. 
  145. ^ 山口 1992, p. 72.
  146. ^ 山口 1992, p. 73.
  147. ^ 巌佐 1990, p. 5.
  148. ^ 北原（編） 2003, pp. 220–221.
  149. ^ ブラウン 2012, pp. 45–46.
  150. ^ a b 渡辺千仭『技術経済システム』（初版）創成社、2007年、84–87頁。ISBN 978-4-7944-3089-2。 
  151. ^ 橋本洋志・石井千春『Scilab/Scicosで学ぶシミュレーションの基礎―自然・社会現象から、経済・金融、システム制御まで』オーム社、2008年、103–105頁。ISBN 978-4-274-20487-6。 
  152. ^ 白石高章『統計科学の基礎―データと確率の結びつきがよくわかる数理』（第1版）日本評論社、2012年、159頁。ISBN 978-4-535-78700-1。 
  153. ^ 岡谷貴之『深層学習』講談社サイエンティフィク〈機械学習プロフェッショナルシリーズ〉、2015年4月7日、10頁。ISBN 978-4-06-152902-1。 
  154. ^ 瀬野 2007, pp. i, 25–26.
  155. ^ 瀬野 2007, p. 22; ブラウン 2012, p. 32; ハーバーマン 1992, p. 41.
  156. ^ 寺本 1997, p. 9.
  157. ^ 瀬野 2007, p. 21.
  158. ^ Hirsch et al. 2007, p. 4.
  159. ^ コーエン 1998, pp. 112–113.
  160. ^ 山口 1992, p. 54.
  161. ^ 人口研究会（編） 2010, pp. 280–282.
  162. ^ 人口研究会（編） 2010, p. 282.
  163. ^ 人口研究会（編） 2010, p. 315.
  164. ^ 山口 1992, p. 55; 寺本 1997, p. 10.
  165. ^ 山口 1992, p. 56.
  166. ^ a b Verhulst, Pierre-François (1838). “Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement”. Correspondance mathématique et physique 10: 113-121. https://books.google.co.jp/books?id=8GsEAAAAYAAJ&pg=PA113&hl=ja&source=gbs_toc_r&cad=4#v=onepage&q&f=false. のp.115
  167. ^ a b 瀬野 2007, p. 18.
  168. ^ 山口 1992, p. 57.
  169. ^ a b c d 山口 1992, p. 58.
  170. ^ コーエン 1998, p. 113.
  171. ^ 内田 1972, pp. 28–30.
  172. ^ マレー 2014, pp. 4–5; コーエン 1998, p. 113.
  173. ^ Kingsland 1982, pp. 33–34.
  174. ^ コーエン 1998, pp. 113–114より引用。出典での引用元は、Pearl, Raymond, and Lowell J. Reed. 1924 The growth of human population. In Studies in human biology, ed. Raymond Pearl. Baltimore: Williams and Wilkins, pp. 584-637.のp.585より.
  175. ^ Kingsland 1982, pp. 32, 35, 42.
  176. ^ マレー 2014, pp. 3–4; 人口研究会（編） 2010, p. 323.
  177. ^ Kingsland 1982, p. 32.
  178. ^ Kingsland 1982, pp. 35–36, 38–39.
  179. ^ Kingsland 1982, p. 40.
  180. ^ Kingsland 1982, p. 34.
  181. ^ Kingsland 1982, pp. 41–42.
  182. ^ Kingsland 1982, p. 43.
  183. ^ Kingsland 1982, pp. 45–46.
  184. ^ 日本生態学会（編） 2004, p. 241.
  185. ^ a b Kingsland 1982, p. 49.
  186. ^ 巌佐 1990, p. 50.
  187. ^ 山口 1992, pp. 73–75.
  188. ^ 日本生態学会（編） 2004, p. 62.
  189. ^ 日本生態学会（編） 2004, p. 62; レーヴンほか 2007, p. 1150.
  190. ^ 木元 1979, pp. 108–109.
  191. ^ 木元 1979, pp. 116–117.
  192. ^ 日本生態学会（編） 2004, pp. 61, 64.
  193. ^ 山口 1992, p. 76.
  194. ^ スチュアート 2012, pp. 342–343.
  195. ^ スチュアート 2012, p. 342.
  196. ^ ティェンイェン・リー、ジェームス・A・ヨーク「第10章 区間上のカオスを探索する」『カオスはこうして発見された』ラルフ・エイブラハム、ヨシスケ・ウエダ （編） 稲垣耕作、赤松則男（訳）（初版）、共立出版、2002年、169-170頁。ISBN 4-320-03418-X。 

[前の解説]
[続きの解説]

「ロジスティック方程式」の続きの解説一覧

急上昇のことば

唯一無二
ハ
グ
カオス
チャールズ・W・ギルモア
英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

カテゴリ一覧

全て

＋ ビジネス

＋ 業界用語

＋ コンピュータ

＋ 電車

＋ 自動車・バイク

＋ 船

＋ 工学

＋ 建築・不動産

＋ 学問

＋ 文化

＋ 生活

＋ ヘルスケア

＋ 趣味

＋ スポーツ

＋ 生物

＋ 食品

＋ 人名

＋ 方言

＋ 辞書・百科事典

すべての辞書の索引

あいうえお
かきくけこ
さしすせそ
たちつてと
なにぬねの
はひふへほ
まみむめも
やゆよ
らりるれろ
わをん
がぎぐげご
ざじずぜぞ
だぢづでど
ばびぶべぼ
ぱぴぷぺぽ
ＡＢＣＤＥ
ＦＧＨＩＪ
ＫＬＭＮＯ
ＰＱＲＳＴ
ＵＶＷＸＹ
Ｚ
１２３４５
６７８９０
記号

Weblioのサービス

「ロジスティック方程式」の関連用語

1
モデルの拡張・応用
ウィキペディア小見出し辞書
100% |||||

2
ロジスティック効果
ウィキペディア小見出し辞書
94% |||||

3
ロジスティック方程式からの発展
ウィキペディア小見出し辞書
90% |||||

4
生物学的前提条件
ウィキペディア小見出し辞書
90% |||||

5
ロジスティック曲線
ウィキペディア小見出し辞書
78% |||||

6
個体数と増加率の関係
ウィキペディア小見出し辞書
78% |||||

7
人口成長
ウィキペディア小見出し辞書
76% |||||

8
他形式
ウィキペディア小見出し辞書
76% |||||

9
時間遅れの考慮
ウィキペディア小見出し辞書
76% |||||

10
実験生物
ウィキペディア小見出し辞書
72% |||||

ロジスティック方程式のお隣キーワード

ロジスティシャン

ロジスティックス

ロジスティック写像

ロジスティック分布

ロジスティック回帰

ロジスティック回帰分析

ロジスティック方程式

ロジスティック曲線

ロジスティード

ロジスティードソリューションズ

ロジスティード陸上部

ロジスネクストユニキャリア

ロジゾン酸

検索ランキング

   

 英語⇒日本語
日本語⇒英語		    


ロジスティック方程式のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアのロジスティック方程式 (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。

©2024 GRAS Group, Inc.RSS