ケプラーの法則 ケプラーの法則の概要

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ケプラーの法則

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2024/03/14 09:10 UTC 版)

ケプラーの法則を動画で示した図。

緑色の観測範囲は近い位置にいる為角度の変化が大きく、赤色の観測範囲は遠い位置にいる為角度の変化が小さく、紺色の観測範囲は角度の変化が緩やかに増える。その角度の変化を計測することで、ケプラーの法則が成り立つ。

法則

ケプラーは、ティコ・ブラーエの観測記録から^[1]、太陽に対する火星の運動を推定し^[2]、以下のように定式化した。

第1法則（楕円軌道の法則）

Figure 1: ケプラーの第1法則（楕円軌道の法則）。太陽が楕円の焦点のひとつ。

惑星は、太陽を焦点のひとつとする楕円軌道上を動く^[3]。

太陽の位置を原点に取り、太陽と惑星の距離 r、 真近点角 θ をパラメータとする極座標では、惑星の軌道は次の式で与えられる。

${\displaystyle r={\frac {h^{2}/\mu }{1+\varepsilon \,\cos \theta }}.}$

ここで、 h は単位質量当たりの角運動量、μ = GM は太陽質量Mと万有引力定数Gの積である日心重力定数、ε は楕円の離心率である。ただし 0 ≦ ε ＜ 1 であり、ε = 0 のとき、太陽中心の円軌道を表す。

第2法則（面積速度一定の法則）

惑星と太陽とを結ぶ線分が単位時間に掃く面積（面積速度）は、一定である。

第3法則（調和の法則）

惑星の公転周期の2乗は、軌道長半径の3乗に比例する。

先に、第1法則および第2法則が発見されて1609年に発表され^[4]、後に、第3法則が発見されて1619年に発表された^[5]。

法則の意味するもの

第1法則は、惑星の軌道が真円ではなく楕円であることと、太陽の位置は楕円の中心ではなく焦点の1つであることを述べている（もう片方の焦点には何もない）。また、惑星の軌道が太陽を含む一平面上であることも暗に意味している。後のニュートン力学では、中心力の作用する2体問題の解として、束縛運動であるならば楕円運動になることが示される。

楕円運動の発見のエピソードとして、当時、惑星の運動は円であると信じられていたが、それに従わない火星のデータをティコ・ブラーエが困ってケプラーに担当させたため、との話がある。

第2法則は、太陽に近いところでは惑星は速度を増し、太陽から遠いところでは惑星は速度を落とすことを意味している。これは、惑星が軌道上を移動する際の面積速度が一定である事を意味し、「面積速度一定の法則」と呼ばれる事も有るが、面積速度とは、惑星の位置ベクトルと速度ベクトルの外積に他ならず、ニュートン力学における、角運動量保存の法則に相当する。

第3法則は、公転周期の長さは楕円軌道の長半径のみに依存して決まることを意味する。楕円軌道の離心率に依存しないので、楕円軌道の長半径が同じであれば、円運動でも楕円運動でも周期は同じになる。この法則も後のニュートン力学で導ける。

ケプラーの法則に従う運動をケプラー運動ともいう。