オイラー法 拡張

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オイラー法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/14 02:53 UTC 版)

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オイラー法は１次方法である。１次方法は極端に精度が低いので、実践には向かない。そのため、もっと次数の高い方法が必要となる。オイラー法と後退オイラー法の公式をもとにして平均値を取ると次の公式となる。

$y_{n+1}=y_{n}+{\frac {1}{2}}h(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n+1}))$

これは微分方程式での台形公式である。有限差分法を用いて偏微分方程式に適用するときはクランク・ニコルソン法とも呼ばれる。この方法が2次方法でA-安定であることを証明できる。

台形公式は見ての通り陰公式である。それを陽公式にも変換できる。y_n+1をもう一度オイラー法で近似すると次の公式となる。

$y_{n+1}=y_{n}+{\frac {1}{2}}h(f(t_{n},y_{n})+f(t_{n+1},y_{n}+hf(t_{n},y_{n}))$

これはホイン法（または改良オイラー法、英: improved Euler method）とよばれる陽公式である。台形公式と同じ2次方法であるけど、A-安定な方法ではない。修正オイラー法は、もっともシンプルな2段ルンゲ＝クッタ法である。

しかし、2次方法はオイラー法より精度が遥かに高いが、実践で使うにはまだ精度が足りない。現在よく使われているのが高次のルンゲ＝クッタ法である（MATLABのコマンドode23は3段3次ルンゲ＝クッタ法で、ode45は6段5次のルンゲ＝クッタ法である）。