オイラー法 例

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オイラー法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/14 02:53 UTC 版)

例

簡単な例として、次の1階常微分方程式を考えよう：

$y'=3y+2,\quad y(0)=y_{0}.$

この方程式に対するのオイラー法は

$y_{n+1}=y_{n}+h(3y_{n}+2)$

という漸化式になる。この漸化式は厳密解を求めることができて、初期値を用いて、

$y_{n}=\left(y_{0}+{\frac {2}{3}}\right)(1+3h)^{n}-{\frac {2}{3}}$

となる。この例では、微分方程式の厳密解を直接に求めることができる。解いて厳密解は

$y=\left(y_{0}+{\frac {2}{3}}\right)e^{3x}-{\frac {2}{3}}$

となる。x = nh のときの誤差は

$y_{n}-y(x)=\left(y_{0}+{\frac {2}{3}}\right)\left((1+3h)^{n}-e^{3nh}\right)$

となる。e^x のテイラー展開と二項定理を用いて等式

$e^{3nh}-(1+3h)^{n}=O(h^{2})$

は明らかになる。故に、この例でオイラー法の局所誤差は O(h²) であり、1次方法となる。すなわち、

$y_{n}-y(x)=\left(y_{0}+{\frac {2}{3}}\right)O(h^{2})$

したがって、この表示から h が 0 の極限で局所誤差が 0 に収束することが分かる。