オイラー法 後退オイラー法

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オイラー法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/07/14 02:53 UTC 版)

後退オイラー法

前に述べたように、オイラー法は数値的不安定である。硬い微分方程式の解を計算するときに刻み幅を非常に小さくしないと近似解は厳密解に収束しない。そのような方程式の近似解を求めるために、数値的安定な方法が必要となる。安定性を持つ方法の中では、後退オイラー法（英: backward Euler method）が一番シンプルな方法である。y(t + h) の代わりに、y(t) の t + h に対するテイラー展開を考える

$y(t)=y(t+h)-y'(t+h)h+{\frac {1}{2}}y''(t+h)h^{2}+O(h^{3})$

前と同じ置き換えをすると、次の公式となる。

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n+1},y_{n+1})+O(h^{2})$

$O(h^{2})$ の項を切り捨てて、それが後退オイラー法の公式となる。

右側に $f(t_{n+1},y_{n+1})$ の項が存在するため、後退オイラー法は陰公式となる。すなわち、現在値を求めるために過去の数値だけではなく、現在や未来の数値を知らなければならない（後退オイラー法では未来値に依存しない）。結果として、一時刻ごとに方程式系を解かなければならない。ゆえに、特に非線型方程の場合、計算コストが大分上がる。

とはいえ、この方法はA-安定（英: A-stable）である。よって近似解は刻み幅に関係なく収束する。後退オイラー法も普通は使われない。