イデアル (環論) イデアルの種類

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イデアル (環論)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/12/30 07:27 UTC 版)

イデアルの種類

以下簡単のため可換環でのみ考えることにして、非可換版の詳しい話は各項に譲る。

イデアルの重要性は、それが環準同型の核となることであり、また剰余環を定義することができることにある。異なる種類の剰余環が定義できると言うことに従って、様々な種類のイデアルが考えられる。

極大イデアル

真のイデアル I が極大イデアル (maximal ideal) とは、I を真に含む真のイデアル J が存在しないことを言う。極大イデアルによる商は一般には単純環、可換環の場合は体になる。

極小イデアル

ゼロでないイデアルが極小 (minimal) であるとは、それが零でも自身でもないイデアルを含まないことを言う。

素イデアル

真のイデアル I が素イデアル (prime ideal) とは、R の元 a, b が ab ∈ I を満たすならば必ず a と b の少なくとも一方が I に属すことを言う。素イデアルによる商は一般には素環、可換の場合は整域となる。

根基イデアルまたは半素イデアル

真のイデアル I が根基 (radical) または半素 (semiprime) であるとは、R の任意の元 a に対してその適当な冪 aⁿ が I に属すならば a ∈ I となることを言う。根基イデアルによる商は、一般には半素環であり、可換の場合は被約環になる。

準素イデアル

イデアル I が準素イデアル (primary ideal) とは、R の元 a, b が ab ∈ I を満たすとき、a ∉ I ならば bⁿ ∈ I が適当な正の整数 n に対して成り立つことを言う。任意の素イデアルは準素イデアルだが逆は必ずしも成り立たない。半素な準素イデアルは素イデアルである。

主イデアル

単項生成なイデアル。

有限生成イデアル

加群として有限生成なイデアル。

原始イデアル

左単純加群の零化域を左原始イデアルと呼ぶ。右原始イデアルも同様。しかしその名称にも拘らず、左または右原始イデアルは実は常に両側イデアルになる。原始イデアルは素イデアルである。左（または右）原始イデアルによる商は左（または右）原始環と言う。可換環の場合は原始イデアルは極大であり、従って原始環は体になる。

既約イデアル

イデアルが既約 (irreducible) であるとは、それがそれを真に含むイデアルの交わりに書けないことを言う。

互いに素なイデアル

2つのイデアル I, J が互いに素 (coprime, comaximal) であるとは I + J = R となることを言う。

正則イデアル

いくつか異なる流儀がある。

冪零元イデアル

イデアルが冪零元イデアル (nil ideal) とは、その任意の元が冪零であることを言う。

必ずしも環の中で閉じているわけではないが、「イデアル」と呼ばれる重要な例を二つ挙げる。詳細はそれぞれの項を参照。

• 分数イデアル：通常は R が商体 K を持つ可換整域である場合に定義される。名前が示唆する通り、分数イデアル (fractional ideal ) は K の特別な性質を持つ R –部分加群である。分数イデアルが完全に R に含まれる時には、真に R のイデアルを成す。
• 可逆イデアル：通常は、可逆イデアル (invertible ideal) A は分数イデアルであって、別の分数イデアル B で AB = BA = R を満たすものが取れるものと定義される。文献によっては、R が整域ではなく一般の環で、通常のイデアル A, B が AB = BA = R を満たすときに、「可逆イデアル」と言う呼称を用いるものがある。