双対束とは？わかりやすく解説

数学において、ベクトル束 $π : E \to X$ の双対束 (dual bundle) はファイバーが $E$ のファイバーの双対空間であるようなベクトル束 $π *: E * \to X$ である。双対束は構造群（英語版）の双対表現をとることによって associated bundle（英語版） construction を使うことによって構成することができる。

具体的には、変換関数が $t ij$ の $E$ の局所自明化が与えられると、 $E *$ の局所自明化は $X$ のと同じ開被覆によって変換関数は $t ij * = (t ij T) -1$ （転置の逆）で与えられる。すると双対束 $E *$ は fiber bundle construction theorem（英語版）を使って構成される。

例えば、可微分多様体の接束の双対は余接束である。

底空間 $X$ がパラコンパクトかつハウスドルフであれば、実の有限ランクのベクトル束 $E$ とその双対 $E *$ はベクトル束として同型である。しかしながら、ベクトル空間と全く同じように、 $E$ に内積が与えられていない限り同型の自然な選択は存在しない。これは複素ベクトル束の場合には正しくない、例えばリーマン球面上の普遍直線束（英語版） (tautological line bundle) はその双対と同型でない。