x2+2y2
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 19:14 UTC 版)
p ≡ 1 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,3\;(\operatorname {mod} \;8)} の素数は p = x 2 + 2 y 2 {\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}} で表される。合成数が x 2 + 2 y 2 {\displaystyle x^{2}+2y^{2}} で表されるための必要十分条件は、 p ≡ 1 , 2 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,2,3\;(\operatorname {mod} \;8)} 以外の素因数が全て平方になっていることである。この証明は以下に与えられる。 平方剰余の相互法則の第一補充法則と第二補充法則により、 ( − 2 8 n + 1 ) = ( − 1 8 n + 1 ) ( 2 8 n + 1 ) = ( − 1 ) 1 − 1 2 ( − 1 ) 1 − 1 8 = 1 , ( − 2 8 n + 3 ) = ( − 1 8 n + 3 ) ( 2 8 n + 3 ) = ( − 1 ) 3 − 1 2 ( − 1 ) 9 − 1 8 = 1 , ( − 2 8 n + 5 ) = ( − 1 8 n + 5 ) ( 2 8 n + 5 ) = ( − 1 ) 5 − 1 2 ( − 1 ) 25 − 1 8 = − 1 , ( − 2 8 n + 7 ) = ( − 1 8 n + 7 ) ( 2 8 n + 7 ) = ( − 1 ) 7 − 1 2 ( − 1 ) 49 − 1 8 = − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&\left({\frac {-2}{8n+1}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+1}}\right)\left({\frac {2}{8n+1}}\right)=(-1)^{\frac {1-1}{2}}(-1)^{\frac {1-1}{8}}=1,\\&\left({\frac {-2}{8n+3}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+3}}\right)\left({\frac {2}{8n+3}}\right)=(-1)^{\frac {3-1}{2}}(-1)^{\frac {9-1}{8}}=1,\\&\left({\frac {-2}{8n+5}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+5}}\right)\left({\frac {2}{8n+5}}\right)=(-1)^{\frac {5-1}{2}}(-1)^{\frac {25-1}{8}}=-1,\\&\left({\frac {-2}{8n+7}}\right)=\left({\frac {-1}{8n+7}}\right)\left({\frac {2}{8n+7}}\right)=(-1)^{\frac {7-1}{2}}(-1)^{\frac {49-1}{8}}=-1\\\end{aligned}}} であるから、 p ≡ 1 , 3 ( mod 8 ) {\displaystyle p\equiv 1,3\;(\operatorname {mod} \;8)} であれば r 2 ≡ − 2 ( mod p ) {\displaystyle r^{2}\equiv -2\;(\operatorname {mod} \;p)} となる自然数 r {\displaystyle r} が存在する。 x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} の場合の証明にならえば x 2 + 2 y 2 ≡ 0 ( mod p ) , 0 < x 2 + 2 y 2 < 3 p {\displaystyle {\begin{aligned}&x^{2}+2y^{2}\equiv 0\;(\operatorname {mod} \;p),\\&0<x^{2}+2y^{2}<3p\\\end{aligned}}} となり、故に x 2 + 2 y 2 = f p ( f ≦ 2 ) {\displaystyle x^{2}+2y^{2}=fp\quad (f\leqq 2)} となる。 f = 2 {\displaystyle f=2} の場合は両辺を2で除して 2 ( x 2 ) 2 + y 2 = p {\displaystyle 2\left({\frac {x}{2}}\right)^{2}+y^{2}=p} となる。合成数については x 2 + y 2 {\displaystyle x^{2}+y^{2}} の場合の証明にならう。
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