p-進 L-函数

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p-進L-函数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/18 09:00 UTC 版)

本来の表記は「p -進l-函数」です。この記事に付けられたページ名は技術的な制限または記事名の制約により不正確なものとなっています。

数学では、p-進ゼータ函数 (p-adic zeta function)、あるいはより一般的に p-進 L-函数 (p-adic L-function) とは、リーマンゼータ函数やより一般的なディリクレの L-函数に類似した函数であるが、函数の定義域と値域が p-進的であるものを言う（ここに p は素数である）。p-進 L-函数の定義域は p-進整数環 Z_p や、射有限 p-群、ガロア表現の p-進族であり、像はp-進数体 Q_p もしくはその代数的閉包である。

ディリクレ L-函数

ディリクレ L-函数は、級数

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}$

の解析接続として与えられる。負の整数でのディリクレ L-函数の値は、

$L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}$

である。ここに、B_n,χ は一般化されたベルヌーイ数であり、導手 f を持つディリクレ指標 χ に対し、

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}$

で定義される。

補完を使った定義

久保田-レオポルドの p-進 L-函数 L_p(s, χ) は、p でのオイラー因子を取り除いたディリクレのL-函数を補完する。さらに詳しくは、L_p(s, χ) は p-進数 s の連続函数であり、p − 1 により割ることのできる正の整数 n に対し

$\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )$

となる唯一のものである。この式の右辺はまさに通常のディリクレの L-函数から、p でのオイラー因子を取り除いたものである。また、 p でのオイラー因子を取り除かない 場合には、右辺は p-進的に連続とはならない。右辺の連続性は密接にクンマー合同(Kummer congruence)と関連している。

n が p − 1 により割れない場合は、一般的にこのことは成立しない。代わりに、正の整数 n に対し、

$\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \omega ^{-n})$

が成り立つ。ここに χ はタイヒミューラー指標(Teichmüller character) ω のべきによりツイストされている。

p-進測度と見なすと

p-進L-函数はまた、p-射有限ガロア群上のp-進測度(p-adic measures)（あるいは、p-進分布(p-adic distributions)）とも考えることができる。この観点と久保田・レオポルトの観点との間の変換は（Z_p 上の Q_p-値を持つ函数として）、メイザー・メリン変換(Mazur–Mellin transform)（と類体論）を経由する。

総実体

Deligne & Ribet (1980) では、前に行われている Serre (1973) に立脚し、総実体の解析的 p-進L-函数を構成した。Barsky (1978) と Cassou-Noguès (1979)は独立に同じ結果を導き出したが、このアプローチは、新谷卓郎の L-値の研究のアプローチに従っている。

参考文献

• Barsky, Daniel (1978), “Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels”, in Amice, Y.; Barskey, D.; Robba, P., Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78), 16, Paris: Secrétariat Math., ISBN 978-2-85926-266-2, MR525346, http://www.numdam.org/item?id=GAU_1977-1978__5__A9_0 
• Cassou-Noguès, Pierrette (1979), “Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques”, Inventiones Mathematicae 51 (1): 29–59, doi:10.1007/BF01389911, ISSN 0020-9910, MR524276 
• Coates, John (1989), “On p-adic L-functions”, Astérisque (177): 33–59, ISSN 0303-1179, MR1040567, http://www.numdam.org/item?id=SB_1988-1989__31__33_0 
• Colmez, Pierre (2004), Fontaine's rings and p-adic L-functions, http://www.math.jussieu.fr/~colmez/tsinghua.pdf 
• Deligne, Pierre; Ribet, Kenneth A. (1980), “Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields”, Inventiones Mathematicae 59 (3): 227–286, doi:10.1007/BF01453237, ISSN 0020-9910, MR579702 
• Iwasawa, Kenkichi (1969), “On p-adic L-functions”, Annals of Mathematics. Second Series (Annals of Mathematics) 89 (1): 198–205, doi:10.2307/1970817, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970817, MR0269627, https://jstor.org/stable/1970817 
• Iwasawa, Kenkichi (1972), Lectures on p-adic L-functions, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08112-0, MR0360526 
• Katz, Nicholas M. (1975), “p-adic L-functions via moduli of elliptic curves”, Algebraic geometry, Proc. Sympos. Pure Math.,, 29, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 479–506, MR0432649 
• Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3, MR754003 
• Kubota, Tomio; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), “Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 214/215: 328–339, ISSN 0075-4102, MR0163900, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?GDZPPN002180626 
• Serre, Jean-Pierre (1973), “Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques”, in Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), Lecture Notes in Math, 350, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 191–268, doi:10.1007/978-3-540-37802-0_4, ISBN 978-3-540-06483-1, MR0404145 

p進L関数

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/09/28 14:12 UTC 版)

本来の表記は「p進L関数」です。この記事に付けられたページ名は技術的な制限または記事名の制約により不正確なものとなっています。

数学では、p-進ゼータ函数 (p-adic zeta function)、あるいはより一般的に p-進 L-函数 (p-adic L-function) とは、リーマンゼータ函数やより一般的なディリクレの L-函数に類似した函数であるが、函数の定義域と値域が p-進的であるものを言う（ここに p は素数である）。p-進 L-函数の定義域は p-進整数環 Z_p や、射有限 p-群、ガロア表現の p-進族であり、像はp-進数体 Q_p もしくはその代数的閉包である。

ディリクレ L-函数

ディリクレ L-函数は、級数

$L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime number}}}{\frac {1}{1-\chi (p)p^{-s}}}$

の解析接続として与えられる。負の整数でのディリクレ L-函数の値は、

$L(1-n,\chi )=-{\frac {B_{n,\chi }}{n}}$

である。ここに、B_n,χ は一般化されたベルヌーイ数であり、導手 f を持つディリクレ指標 χ に対し、

$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\chi }{\frac {t^{n}}{n!}}=\sum _{a=1}^{f}{\frac {\chi (a)te^{at}}{e^{ft}-1}}$

で定義される。

補完を使った定義

久保田-レオポルドの p-進 L-函数 L_p(s, χ) は、p でのオイラー因子を取り除いたディリクレのL-函数を補完する。さらに詳しくは、L_p(s, χ) は p-進数 s の連続函数であり、p − 1 により割ることのできる正の整数 n に対し

$\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi (p)p^{n-1})L(1-n,\chi )$

となる唯一のものである。この式の右辺はまさに通常のディリクレの L-函数から、p でのオイラー因子を取り除いたものである。また、 p でのオイラー因子を取り除かない 場合には、右辺は p-進的に連続とはならない。右辺の連続性は密接にクンマー合同(Kummer congruence)と関連している。

n が p − 1 により割れない場合は、一般的にこのことは成立しない。代わりに、正の整数 n に対し、

$\displaystyle L_{p}(1-n,\chi )=(1-\chi \omega ^{-n}(p)p^{n-1})L(1-n,\chi \omega ^{-n})$

が成り立つ。ここに χ はタイヒミューラー指標(Teichmüller character) ω のべきによりツイストされている。

p-進測度と見なすと

p-進L-函数はまた、p-射有限ガロア群上のp-進測度(p-adic measures)（あるいは、p-進分布(p-adic distributions)）とも考えることができる。この観点と久保田・レオポルトの観点との間の変換は（Z_p 上の Q_p-値を持つ函数として）、メイザー・メリン変換(Mazur–Mellin transform)（と類体論）を経由する。

総実体

Deligne & Ribet (1980) では、前に行われている Serre (1973) に立脚し、総実体の解析的 p-進L-函数を構成した。Barsky (1978) と Cassou-Noguès (1979)は独立に同じ結果を導き出したが、このアプローチは、新谷卓郎の L-値の研究のアプローチに従っている。

参考文献

• Barsky, Daniel (1978), “Fonctions zeta p-adiques d'une classe de rayon des corps de nombres totalement réels”, in Amice, Y.; Barskey, D.; Robba, P., Groupe d'Etude d'Analyse Ultramétrique (5e année: 1977/78), 16, Paris: Secrétariat Math., ISBN 978-2-85926-266-2, MR525346, http://www.numdam.org/item?id=GAU_1977-1978__5__A9_0 
• Cassou-Noguès, Pierrette (1979), “Valeurs aux entiers négatifs des fonctions zêta et fonctions zêta p-adiques”, Inventiones Mathematicae 51 (1): 29–59, doi:10.1007/BF01389911, ISSN 0020-9910, MR524276 
• Coates, John (1989), “On p-adic L-functions”, Astérisque (177): 33–59, ISSN 0303-1179, MR1040567, http://www.numdam.org/item?id=SB_1988-1989__31__33_0 
• Colmez, Pierre (2004), Fontaine's rings and p-adic L-functions, http://www.math.jussieu.fr/~colmez/tsinghua.pdf 
• Deligne, Pierre; Ribet, Kenneth A. (1980), “Values of abelian L-functions at negative integers over totally real fields”, Inventiones Mathematicae 59 (3): 227–286, doi:10.1007/BF01453237, ISSN 0020-9910, MR579702 
• Iwasawa, Kenkichi (1969), “On p-adic L-functions”, Annals of Mathematics. Second Series (Annals of Mathematics) 89 (1): 198–205, doi:10.2307/1970817, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970817, MR0269627, https://jstor.org/stable/1970817 
• Iwasawa, Kenkichi (1972), Lectures on p-adic L-functions, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08112-0, MR0360526 
• Katz, Nicholas M. (1975), “p-adic L-functions via moduli of elliptic curves”, Algebraic geometry, Proc. Sympos. Pure Math.,, 29, Providence, R.I.: American Mathematical Society, pp. 479–506, MR0432649 
• Koblitz, Neal (1984), p-adic Numbers, p-adic Analysis, and Zeta-Functions, Graduate Texts in Mathematics, vol. 58, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-96017-3, MR754003 
• Kubota, Tomio; Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1964), “Eine p-adische Theorie der Zetawerte. I. Einführung der p-adischen Dirichletschen L-Funktionen”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 214/215: 328–339, ISSN 0075-4102, MR0163900, http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?GDZPPN002180626 
• Serre, Jean-Pierre (1973), “Formes modulaires et fonctions zêta p-adiques”, in Kuyk, Willem; Serre, Jean-Pierre, Modular functions of one variable, III (Proc. Internat. Summer School, Univ. Antwerp, 1972), Lecture Notes in Math, 350, Berlin, New York: Springer-Verlag, pp. 191–268, doi:10.1007/978-3-540-37802-0_4, ISBN 978-3-540-06483-1, MR0404145