hom集合随伴
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:11 UTC 版)
圏CとDの間のhom集合の随伴は2つの関手 F : C ← D と G : C → D および、自然同型 Φ : h o m C ( F − , − ) → h o m D ( − , G − ) {\displaystyle \Phi :\mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)} のことをいう。これはCの各対象XとDの各対象Yで添え字付けられた全単射の族 Φ Y , X : h o m C ( F Y , X ) → h o m D ( Y , G X ) {\displaystyle \Phi _{Y,X}:\mathrm {hom} _{C}(FY,X)\to \mathrm {hom} _{D}(Y,GX)} . を定める。 このとき、 FはGの左随伴であり GはFの右随伴であるという。この関係を Φ : F ⊣ G {\displaystyle \Phi :F\dashv G} 、または単に F ⊣ G {\displaystyle F\dashv G} と書く。 この定義は普遍射を使ったものより少し確認することが多くて、すぐに得られる結果は余単位-単位随伴より少なくなるという論理的な折衷になっている。明らかな対称性や他の定義の間の架け橋にることは有用である。 Φが自然同型であるというときは、homC(F–, –) と homD(–, G–) が関手であると考える必要がある。実際、これらはDop × CからSet(集合の圏)への双関手である。詳しくはHom関手の項目を参照せよ。明示的に書くと、Φの自然性というのは、全てのCの射 f : X → X′と全てのDの射g : Y′ → Yについて、以下の図式が可換になることをいう。 この図式の縦方向の射はfやgを合成することで誘導される射である。
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