hom集合随伴が上の全てを導くこと
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/11/28 14:11 UTC 版)
「随伴関手」の記事における「hom集合随伴が上の全てを導くこと」の解説
関手 F : C ← D {\displaystyle F\colon C\leftarrow D} と G : C → D {\displaystyle G\colon C\to D} および、hom集合の随伴 Φ : h o m C ( F − , − ) → h o m D ( − , G − ) {\displaystyle \Phi \colon \mathrm {hom} _{C}(F-,-)\to \mathrm {hom} _{D}(-,G-)} が与えられたとして、普遍射の族を導くcounit-unit随伴 ( ε , η ) : F ⊣ G {\displaystyle (\varepsilon ,\eta )\colon F\dashv G} , を以下の手順で構成する。 Cの各対象Xに対して、 ε X = Φ G X , X − 1 ( 1 G X ) ∈ h o m C ( F G X , X ) {\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in \mathrm {hom} _{C}(FGX,X)} とする。ここで、 1 G X ∈ h o m D ( G X , G X ) {\displaystyle 1_{GX}\in \mathrm {hom} _{D}(GX,GX)} は恒等射である。 Dの各対象Yに対して、 η Y = Φ Y , F Y ( 1 F Y ) ∈ h o m D ( Y , G F Y ) {\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})\in \mathrm {hom} _{D}(Y,GFY)} とする。ここで、 1 F Y ∈ h o m C ( F Y , F Y ) {\displaystyle 1_{FY}\in \mathrm {hom} _{C}(FY,FY)} は恒等射である。 Φが全単射で自然であることから、各 ( G X , ε X ) {\displaystyle (GX,\varepsilon _{X})} はFからXへの普遍射であり、各 ( F Y , η Y ) {\displaystyle (FY,\eta _{Y})} はYからGへの普遍射である。 Φが自然であることから、εとηの普遍性が導かれ、各射 f: FY → X と g: Y → GX に対して、2つの公式 Φ Y , X ( f ) = G ( f ) ∘ η Y Φ Y , X − 1 ( g ) = ε X ∘ F ( g ) {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Y,X}(f)=G(f)\circ \eta _{Y}\\\Phi _{Y,X}^{-1}(g)=\varepsilon _{X}\circ F(g)\end{aligned}}} が成立する(これはΦを完全に決定する) 二番目の公式のXにFYを代入し、gに η Y = Φ Y , F Y ( 1 F Y ) {\displaystyle \eta _{Y}=\Phi _{Y,FY}(1_{FY})} を代入することで、1つ目のcounit-unit恒等式 1 F Y = ε F Y ∘ F ( η Y ) {\displaystyle 1_{FY}=\varepsilon _{FY}\circ F(\eta _{Y})} , を得る。一番目の公式のYにGXを代入し、fに ε X = Φ G X , X − 1 ( 1 G X ) {\displaystyle \varepsilon _{X}=\Phi _{GX,X}^{-1}(1_{GX})} を代入することで、2つ目のcounit-unit恒等式 1 G X = G ( ε Y ) ∘ η G X {\displaystyle 1_{GX}=G(\varepsilon _{Y})\circ \eta _{GX}} を得る
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