Rn に対する実ハーディ空間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/04 15:23 UTC 版)
「ハーディ空間」の記事における「Rn に対する実ハーディ空間」の解説
実ベクトル空間 Rn 上の解析において、ハーディ空間 Hp（0 < p ≤ ∞）は、∫Φ = 1 を満たすあるシュワルツ函数 Φ に対して極大函数（英語版） ( M Φ f ) ( x ) = sup t > 0 | ( f ∗ Φ t ) ( x ) | {\displaystyle (M_{\Phi }f)(x)=\sup _{t>0}|(f*\Phi _{t})(x)|} が Lp(Rn) に属するような、緩増加超函数 f によって構成される。ここで ∗ は畳み込みを表し、Φt (x) = t −nΦ(x / t) である。Hp 内の超函数 f の Hp-準ノルム ||f ||Hp は、MΦf の Lp ノルムとして定義される（これは Φ の選択に依存するが、異なるシュワルツ超函数 Φ を選んでも同値なノルムが与えられる）。Hp-準ノルムは p ≥ 1 のときノルムであるが、p < 1 のときはノルムではない。 1 < p < ∞ であるなら、ハーディ空間 Hp は Lp と等しいベクトル空間で、同値なノルムを持つ。p = 1 のとき、ハーディ空間 H1 は L1 の真部分集合である。L1 において有界であるが、H1 において非有界であるような列 H1 を見つけることが出来る。例えば、実数直線上の以下の函数が挙げられる。 f k ( x ) = 1 [ 0 , 1 ] ( x − k ) − 1 [ 0 , 1 ] ( x + k ) , k > 0. {\displaystyle f_{k}(x)=\mathbf {1} _{[0,1]}(x-k)-\mathbf {1} _{[0,1]}(x+k),\ \ \ k>0.} L1 と H1 のノルムは H1 上で同値ではなく、H1 は L1 において閉ではない。H1 の双対は、有界平均振動（英語版）の函数の空間 BMO である。空間 BMO は非有界な函数を含む（これは再び、H1 が L1 において閉でないことを意味する）。 p < 1 であるなら、ハーディ空間 Hp は函数ではない元を持ち、その双対は次数 n(1/p − 1) の同次リプシッツ空間である。p < 1 のとき、Hp-準ノルムは劣加法的ではないため、ノルムではない。p次のベキ ||f ||Hpp は p < 1 のとき劣加法的であり、ハーディ空間 Hp 上のある距離を定義する。それは位相を定義し、Hp を完備距離空間にする。
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