RA を使った二項関係の性質の記述
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/08/07 23:42 UTC 版)
「関係代数 (数学)」の記事における「RA を使った二項関係の性質の記述」の解説
次の表は、二項関係に関して通常扱われる性質のうちのどれくらいが，RA の演算を用いて簡潔な（不）等式で記述できるかを一覧にしたものである。以下不等式 A ≤ B は A ∨ B = B の略記である。 この種の記述の最も完全に近いリストは Carnap の本の第 C章にある(記号がここで用いているものと若干異なるので注意)。Suppes の本の第 3.2節に少数の結果が挙げられているが、それらはここで使われているものと似た記号を用いてZFC上の定理として示されている。どちらにしてもRAの枠組みでの（つまり等式を使った）定式化はなされていない。 R の性質RAでの定式化:全射的 R˘ • R ≤ I 単射的(R˘ が全射的) R • R˘ ≤ I 全単射的 R が全射かつ単射 完全 I ≤ R ∨ R˘ 関数的 関数 R が完全かつ関数的 全単射 R˘ • R = I かつ R • R˘ = I.つまり R は完全、関数的、かつ単射的 反射律 I ≤ R 非反射律 R ∧ I = 0. (0 = I‾) 推移律 R • R ≤ R 擬順序 R が反射律と推移律をみたす 反対称律 R ∧ R˘ ≤ I 順序関係 R が反対称律をみたす擬順序 全順序関係 R は完全な順序関係 強半順序関係 R が推移律と非反射律をみたす 強全順序関係 R が完全な強半順序関係 対称律 R = R˘ 同値関係 R が対称律をみたす擬順序：R • R˘ = R 非対称律 R ≠ R˘ 稠密 R ∧ 0 ≤ (R ∧ 0) • (R∧0)
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