QR分解
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QR分解（キューアールぶんかい、英: QR decomposition, QR factorization）とは、m × n 実行列 Aを、 m 次直交行列 Q と m × n 上三角行列 R との積への分解により表すこと、またはそう表した表現をいう[1]。このような分解は常に存在する[2]。
- ^ Golub & Van Loan 2013, 5.2 The QR Factorization.
- ^ Golub & Van Loan 2013, Theorem 5.2.1 (QR Factorization).
- ^ a b c L. N. Trefethen and D. Bau, Numerical Linear Algebra (SIAM, 1997).
- ^ Strang, Gilbert (2019). Linear Algebra and Learning from Data (1 ed.). Wellesley: Wellesley Cambridge Press. p. 143. ISBN 978-0-692-19638-0
- ^ Parker, Geophysical Inverse Theory, Ch1.13.
QR 分解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/04/20 04:46 UTC 版)
ハウスホルダー鏡映はQR分解の計算に用いることができる: 「与えられた行列の第一列ベクトルを鏡映により標準基底ベクトルのスカラー倍へ写し、その変換行列を計算し、それをもとの行列に掛ける」という操作をさらにその行列の積の (i, i)-小行列に対して再帰的に繰り返す。
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QR分解
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詳細は「QR分解」を参照 適用：m × n 行列 A 分解：A = QR,、ただし Q は m 次直交行列であり，R は m × n の上三角行列である。 コメント：QR分解は方程式系 Ax = b を A の逆行列を求めずに解く別の方法を提供する。Q が直交行列であることは tQQ = I を意味するので、Ax = b は Rx = tQb と同値であり、後者は R が三角行列だから解きやすい。
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QR分解
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「ムーア・ペンローズ逆行列」の記事における「QR分解」の解説
k ∈ { R , C } {\displaystyle \mathbb {k} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}} で積 A A ∗ , A ∗ A {\displaystyle AA^{*},A^{*}A} やそれらの逆行列を直接計算すると、実際には数値の丸め誤差や計算コストがたびたび生じる。逆行列の計算には、上記の代わりに A {\displaystyle A} のQR分解を用いる方法がある。 A {\displaystyle A} が列フルランクの場合を考える。このとき A + = ( A ∗ A ) − 1 A ∗ {\displaystyle A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}} である。すると、コレスキー分解 A ∗ A = R ∗ R {\displaystyle A^{*}A=R^{*}R} （ R {\displaystyle R} は上三角行列）を用いることができる。逆行列の乗算は、複数右辺ベクトルを持つ連立方程式を解くことで簡単に行える。 A + = ( A ∗ A ) − 1 A ∗ ⇔ ( A ∗ A ) A + = A ∗ ⇔ R ∗ R A + = A ∗ {\displaystyle A^{+}=\left(A^{*}A\right)^{-1}A^{*}\quad \Leftrightarrow \quad \left(A^{*}A\right)A^{+}=A^{*}\quad \Leftrightarrow \quad R^{*}RA^{+}=A^{*}} これは、前進代入と後退代入で解くことができる。 コレスキー分解の代わりに QR分解 A = Q R {\displaystyle A=QR} を用いることで、 A ∗ A {\displaystyle A^{*}A} を明示的に構築せずに計算できる。ここで、 Q {\displaystyle Q} は正規直交列を持ち、 Q ∗ Q = I {\displaystyle Q^{*}Q=I} 、そして R {\displaystyle R} 上三角行列である。このとき A ∗ A = ( Q R ) ∗ ( Q R ) = R ∗ Q ∗ Q R = R ∗ R {\displaystyle A^{*}A\,=\,(QR)^{*}(QR)\,=\,R^{*}Q^{*}QR\,=\,R^{*}R} それでのコレスキー因子である 。 行フルランクの場合は、式 A + = A ∗ ( A A ∗ ) − 1 {\displaystyle A^{+}=A^{*}\left(AA^{*}\right)^{-1}} を用い、 A {\displaystyle A} と A ∗ {\displaystyle A^{*}} を入れ替えた同様の議論で対処可能である。
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