Limit cycle

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リミットサイクル

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2023/06/03 06:21 UTC 版)

ファン・デル・ポール振動子で現れる安定なリミットサイクル。内側の軌道も外側の軌道も、ある閉軌道に漸近している。

リミットサイクル（英: limit cycle, 仏: cycle limite）とは、力学系における相空間上での閉軌道であり、時間 t を無限大、またはマイナス無限大にしたとき、その閉軌道に収束する軌道が少なくとも1つ存在するものである。極限閉軌道や極限周期軌道とも呼ばれる。1881年、力学系の始祖でもあるアンリ・ポアンカレによって初めて見いだされた。

リミットサイクルは非線形系でのみ現れる。リミットサイクルと充分に近い軌道が、全てリミットサイクルに収束するとき、漸近安定である、または単に安定であるという。

安定なリミットサイクルでは、相空間上の様々な初期値から出発した軌道は閉軌道に収束する。閉軌道に小さな摂動が加わっても元の閉軌道に戻る。物理的には、リミットサイクルは自励振動の数理モデルとなる。リミットサイクルを持つ例として、ファン・デル・ポール振動子がある。代数的微分方程式におけるリミットサイクル軌道の数を求める問題は、ヒルベルトの第16問題の第2の問題として知られる。2次元相空間の場合は、ポアンカレ・ベンディクソンの定理などによってリミットサイクルの存在（または非存在）を予見できる。

定義

系の時間を t ∈ R、状態変数を X = (x₁, x₂, ... , x_n) ∈ Rⁿ とする。n 次元連続力学系のある解 X(t) が平衡解ではなく、なおかつ X(t) = X(t + T) を満たすような T > 0 が存在するとき、X(t) は周期解と呼ばれる。特に X(t) = X(t + T) を満たす最小の T は周期と呼ばれる。 時間 t が ∞ から −∞ まで変わるときに解 X(t) が取る像の集まりを軌道と呼ぶ。軌道は、系の相空間 x₁, x₂, ... , x_n 上に描かれる一つの曲線に対応する。周期解が描く軌道は、閉軌道や周期軌道と呼ばれる。閉軌道を C で表すとする。相空間 x₁, x₂, ... , x_n 上で C は単純閉曲線となる。

リミットサイクルは次のように定義される。ある初期値 X₀ = X(0) が与えられt解を ϕ (t, X₀) と表すとする。相空間上にある閉軌道 C が存在するとする。C のある近傍 U が存在し、U 上の任意の点を初期値とする ϕ (t, X₀) が t → ∞ または t → −∞ で C に漸近するとき、C はリミットサイクルと呼ばれる。言い換えると、d(ϕ(t, X₀), C) を点 ϕ (t, X₀) と集合 C の内の ϕ (t, X₀) に最も近い点のあいだの距離として定義するとき、

$\lim _{t\to \infty }d(\phi (t,X_{0}),C)=0$

2次元系のリミットサイクルにポアンカレ写像を適用した図。局所断面上の状態点が不動点へ漸近していく様子を示す。

周期軌道の安定性は、ポアンカレ写像の構成や周期軌道周りの線形化方程式（変分方程式）の構成から判別できる。適当な n − 1 次元の局所断面を取り、ポアンカレ写像を設定することで連続力学系の周期解を離散力学系の写像に置き換えることができる。写像が漸近安定な不動点を持つ場合は元の周期軌道が漸近安定である。ポアンカレ写像は、リミットサイクルを見出したポアンカレ自身がリミットサイクルを考察するために生み出した手法である。あるいは、周期軌道からの微小なズレを想定して周期軌道に対する線形化方程式を構成することによって、フロケ理論を適用することができる。線形化方程式のフロケ乗数あるいはフロケ指数から周期軌道の安定性が決定できる。ただし、ポアンカレ写像による方法も線形化方程式による方法も、任意の微分方程式系に適用できる解析的な一般的手法は存在しない。ポアンカレ写像であれば対象の系ごとに個別に工夫して構成する必要があり、フロケ乗数による判定であれば数値計算による手法がある。

具体例

2次元系

微分方程式系 ${\dot {x}}=x-y-x(x^{2}+y^{2})$

ファン・デル・ポール方程式における、それぞれのリミットサイクルに漸近する軌道の様子。

上記は解析解を得ることができる例だが、ほとんどの非線形微分方程式系は解析的に解くことはできない。非線形振動現象の代表的な例であり、なおかつ実際の現象に由来する二階非線形微分方程式として、バルタザール・ファン・デル・ポールが三極真空管の発振回路で起こる自励振動を解明するために導いたファン・デル・ポール方程式がある。2次元微分方程式系の形では、ファン・デル・ポール方程式は

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=y,\\{\dot {y}}&=\mu (1-x^{2})y-x\end{aligned}}$

1周期 (a = 0.1, b = 0.1, c = 4)

2周期 (a = 0.1, b = 0.1, c = 6)

4周期 (a = 0.1, b = 0.1, c = 8.5)

レスラー方程式のリミットサイクル。a = b = 0.1 で固定して、c を変えたとき。

3次元系においてリミットサイクルが現れる微分方程式系としては、レスラー方程式やローレンツ方程式などがある。オットー・レスラーが提案したレスラー方程式は

${\begin{aligned}{\dot {x}}&=-y-z,\\{\dot {y}}&=x+ay,\\{\dot {z}}&=b+xz-cz\end{aligned}}$

初期状態に依存せずに安定なリズムを作るメトロノーム

一定のリズムを鳴らす機械式のメトロノームは安定なリズムの好例である。最初に針を小さく振って動かしたとしても、針を大きく振って動かしたとしても、メトロノームは一定の振動に落ち着く。メトロノームの減衰力と駆動力がバランスすることによって安定な振動を生み出しており、簡単なモデル化によってもメトロノームにおけるリミットサイクルの存在が確認できる。また例えば心臓の拍動などのように、生物のリズム現象の多くは（生物分野では恒常性と呼ばれる）安定性を持っている。このような安定なリズムを記述するのにリミットサイクルを持つモデルが有効である。

参照文献

• Steven H. Strogatz、田中 久陽・中尾 裕也・千葉 逸人（訳）、2015、『ストロガッツ　非線形ダイナミクスとカオス ―数学的基礎から物理・生物・化学・工学への応用まで―』、丸善出版  ISBN 978-4-621-08580-6
• 郡 宏・森田 善久、2011、『生物リズムと力学系』初版、共立出版〈シリーズ・現象を解明する数学〉  ISBN 978-4-320-11000-7
• 桑村 雅隆、2015、『パターン形成と分岐理論 ―自発的パターン発生の力学系入門―』初版、共立出版〈シリーズ・現象を解明する数学〉  ISBN 978-4-320-11004-5
• 船越 満明、2008、『カオス』初版、朝倉書店〈シリーズ 非線形科学入門3〉  ISBN 978-4-254-11613-7
• Morris W. Hirsch; Stephen Smale; Robert L. Devaney、桐木 紳・三波 篤朗・谷川 清隆・辻井 正人（訳）、2007、『力学系入門　原著第2版 ―微分方程式からカオスまで―』初版、共立出版  ISBN 978-4-320-01847-1
• 上田 睆亮、2008、『カオス現象論』初版、コロナ社〈現代非線形科学シリーズ12〉  ISBN 978-4-339-02611-5
• K.T.アリグッド・T.D.サウアー・J.A.ヨーク、津田 一郎（監訳）、星野 高志・阿部 巨仁・黒田 拓・松本 和宏（訳）、2012b、『カオス　第2巻　力学系入門』、丸善出版  ISBN 978-4-621-06279-1
• S. ウィギンス、丹羽 敏雄（監訳）、今井 桂子・田中 茂・水谷 正大・森 真（訳）、2013、『非線形の力学系とカオス』新装版、丸善出版  ISBN 978-4-621-06435-1
• 香田 徹・小室 元政・松本 隆・CHUA, Leon O.・徳永 隆治・相沢 洋二・大石 真一・八幡 英雄、合原 一幸（編）、1990、『カオス ―カオス理論の基礎と応用―』初版、サイエンス社  ISBN 4-7819-0592-7
• 川上 博 (2005年). “非線形現象入門”. 徳島大学 教育・研究者情報データベース. 2018年6月14日閲覧。
• “1群11編 非線形問題 1章 非線形力学系”. 電子情報通信学会知識ベース. pp. 1–13 (2010年9月16日). 2018年6月16日閲覧。

外部リンク

• 『リミットサイクル』 - 天文学辞典（日本天文学会）
• Limit cycle - Encyclopedia of Mathematics
• リミットサイクル - J-GLOBAL
• Chaos4 Japanese（カオス4 ブランコ） - YouTube　力学系、バタフライ効果、カオス理論に関する一般向けビデオ「CHAOS」、第4章、日本語訳：坪井俊