リミットサイクル
リミットサイクル（英: limit cycle, 仏: cycle limite）とは、力学系における相空間上での閉軌道であり、時間 t を無限大、またはマイナス無限大にしたとき、その閉軌道に収束する軌道が少なくとも1つ存在するものである。極限閉軌道や極限周期軌道とも呼ばれる。1881年、力学系の始祖でもあるアンリ・ポアンカレによって初めて見いだされた[1]。
リミットサイクルは非線形系でのみ現れる。リミットサイクルと充分に近い軌道が、全てリミットサイクルに収束するとき、漸近安定である、または単に安定であるという。
安定なリミットサイクルでは、相空間上の様々な初期値から出発した軌道は閉軌道に収束する。閉軌道に小さな摂動が加わっても元の閉軌道に戻る。物理的には、リミットサイクルは自励振動の数理モデルとなる。リミットサイクルを持つ例として、ファン・デル・ポール振動子がある。代数的微分方程式におけるリミットサイクル軌道の数を求める問題は、ヒルベルトの第16問題の第2の問題として知られる[2]。2次元相空間の場合は、ポアンカレ・ベンディクソンの定理などによってリミットサイクルの存在（または非存在）を予見できる。
定義
系の時間を t ∈ R、状態変数を X = (x1, x2, ... , xn) ∈ Rn とする。n 次元連続力学系のある解 X(t) が平衡解ではなく、なおかつ X(t) = X(t + T) を満たすような T > 0 が存在するとき、X(t) は周期解と呼ばれる[3]。特に X(t) = X(t + T) を満たす最小の T は周期と呼ばれる[3]。 時間 t が ∞ から −∞ まで変わるときに解 X(t) が取る像の集まりを軌道と呼ぶ[4]。軌道は、系の相空間 x1, x2, ... , xn 上に描かれる一つの曲線に対応する[5]。周期解が描く軌道は、閉軌道や周期軌道と呼ばれる[4]。閉軌道を C で表すとする。相空間 x1, x2, ... , xn 上で C は単純閉曲線となる[6]。
リミットサイクルは次のように定義される。ある初期値 X0 = X(0) が与えられt解を ϕ (t, X0) と表すとする。相空間上にある閉軌道 C が存在するとする。C のある近傍 U が存在し、U 上の任意の点を初期値とする ϕ (t, X0) が t → ∞ または t → −∞ で C に漸近するとき、C はリミットサイクルと呼ばれる[7]。言い換えると、d(ϕ(t, X0), C) を点 ϕ (t, X0) と集合 C の内の ϕ (t, X0) に最も近い点のあいだの距離として定義するとき、
周期軌道の安定性は、ポアンカレ写像の構成や周期軌道周りの線形化方程式（変分方程式）の構成から判別できる。適当な n − 1 次元の局所断面を取り、ポアンカレ写像を設定することで連続力学系の周期解を離散力学系の写像に置き換えることができる。写像が漸近安定な不動点を持つ場合は元の周期軌道が漸近安定である[35]。ポアンカレ写像は、リミットサイクルを見出したポアンカレ自身がリミットサイクルを考察するために生み出した手法である[36]。あるいは、周期軌道からの微小なズレを想定して周期軌道に対する線形化方程式を構成することによって、フロケ理論を適用することができる。線形化方程式のフロケ乗数あるいはフロケ指数から周期軌道の安定性が決定できる[37][38]。ただし、ポアンカレ写像による方法も線形化方程式による方法も、任意の微分方程式系に適用できる解析的な一般的手法は存在しない。ポアンカレ写像であれば対象の系ごとに個別に工夫して構成する必要があり、フロケ乗数による判定であれば数値計算による手法がある[39][40]。
具体例
2次元系
上記は解析解を得ることができる例だが、ほとんどの非線形微分方程式系は解析的に解くことはできない[48]。非線形振動現象の代表的な例であり、なおかつ実際の現象に由来する二階非線形微分方程式として、バルタザール・ファン・デル・ポールが三極真空管の発振回路で起こる自励振動を解明するために導いたファン・デル・ポール方程式がある[49]。2次元微分方程式系の形では、ファン・デル・ポール方程式は
