ラグランジュ補間

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ラグランジュ補間

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/03/13 02:39 UTC 版)

四点((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)) に対する三次補間多項式 L(x) (黒破線) は基底多項式 y₀ℓ₀(x), y₁ℓ₁(x), y₂ℓ₂(x), y₃ℓ₃(x) のスケールを変えたものの和である。この補間多項式は与えられた四つの制御点を通り、各スケールされた基底多項式は対応する制御点を通り、それ以外の三つの制御点に対応する x のところでは 0 になっている。

数値解析におけるラグランジュ補間（ラグランジュほかん、英: Lagrange interpolation）は、多項式補間に用いられる。相異なる点の集合 x_j および数値 y_j に対し、そのラグランジュ補間多項式は、各 x_j において対応する値として y_j をとるような次数最小の多項式である。このように次数最小の多項式は一意に決まるが、決定する方法は複数存在するため、「ラグランジュ補間多項式」という名称をその一意な多項式の「ラグランジュ形」というふうに言及するのは正確でない。

名称はジョゼフ＝ルイ・ラグランジュに因んだものだが、ラグランジュの発表する1795年よりも以前に、この方法を初めて発見したのは1779年のエドワード・ワーリングである。ラグランジュの結果はレオンハルト・オイラーが1783年に発表したより複雑な形の公式の簡単な帰結となるものであった^[1]。

ラグランジュ補間多項式は数値積分法の一種ニュートン–コーツ法でも用いられ、また有限体上で計算されたラグランジュ補間多項式は暗号理論におけるシャミアの秘密分散法（英語版）でも用いられる。

ラグランジュ補間は巨大振幅に関するルンゲ現象の影響を受けやすい。また評価点 x_j の変更に関して補間の計算を全くやり直す必要があるから、そのような目的では変更が容易にできるニュートン補間がしばしば用いられる。

定義

k + 1 個のデータ点集合 ${\textstyle (x_{0},y_{0}),\ldots ,(x_{j},y_{j}),\ldots ,(x_{k},y_{k})}$

ラグランジュ多項式の集合に対する補間の発散の例

ラグランジュ型の補間では、多項式補間の線型性と補間多項式の一意性があるため、証明や理論的な議論では都合がよい。この一意性はヴァンデルモンド行列の可逆性（同じことだがヴァンデルモンド行列式が至る所消えないこと）からも導けることである。

しかしながら、構成からわかる通り、節点 x_k を変更するごとに、ラグランジュ基底多項式をすべて計算し直さなければならない。そこで実用上（あるいは計算上）の目的では、重心形のラグランジュ補間（後述）やニュートン補間を用いるほうが良い。

等間隔に取った節点に関するラグランジュ補間やその他の補間は、真の函数の上下に振動する多項式を生じるものである。この振る舞いは節点の数を多くするにつれてルンゲ現象と呼ばれる発散に逢着しやすくなっていく。この問題は、補間に用いる点をチェビシェフ節点（英語版）に選ぶことで解消できる^[2]。

線型代数学的説明

補間問題を解くことは、逆行列を計算する線型代数学の問題につながる。標準的な単項式基底を用いた補間多項式 ${\textstyle L(x)=\sum \limits _{j=0}^{k}x^{j}m_{j}}$