KZ方程式のモノドロミー表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/10 15:35 UTC 版)
「クニーズニク・ザモロドチコフ方程式」の記事における「KZ方程式のモノドロミー表現」の解説
共形場理論において、上の定義に従うと、プライマリ場の n-点相関函数はKZ方程式を満す。特に、 s l 2 {\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}} と非負である整数 k に対し、スピン j 表現（英語版）(spin j representation) ( j = 0, 1/2, 1, 3/2,.., k/2) に対応する、k + 1 個のプライマリ場 Φ j ( z j ) {\displaystyle \Phi _{j}(z_{j})} が存在する。表現 ( ρ , V i ) {\displaystyle (\rho ,V_{i})} に対するプライマリ場 Φ j ( z j ) {\displaystyle \Phi _{j}(z_{j})} の相関函数 Ψ ( z 1 , … , z n ) {\displaystyle \Psi (z_{1},\dots ,z_{n})} は、テンソル積 V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V n {\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}} に値をとり、KZ方程式は、 ( k + 2 ) ∂ ∂ z i Ψ = ∑ i , j ≠ i Ω i j z i − z j Ψ {\displaystyle (k+2){\frac {\partial }{\partial z_{i}}}\Psi =\sum _{i,j\neq i}{\frac {\Omega _{ij}}{z_{i}-z_{j}}}\Psi } である。ここに上記の導出に従い Ω i j = ∑ a ρ i ( J a ) ⊗ ρ ( J a ) {\displaystyle \Omega _{ij}=\sum _{a}\rho _{i}(J^{a})\otimes \rho (J_{a})} である。 この n-点相関函数は、多価の正則函数として、 z i ≠ z j , i ≠ j {\displaystyle z_{i}\neq z_{j},i\neq j} である領域 X n ⊂ C n {\displaystyle X_{n}\subset \mathbb {C} ^{n}} へ解析接続することができる。この解析接続により、KZ方程式のホロノミー（英語版）(holonomy)を、エミール・アルティン(Emil Artin)が導入したブレイド群 B n {\displaystyle B_{n}} により記述することができるKohno (2002)。一般に、半単純な複素リー群 g {\displaystyle {\mathfrak {g}}} とその表現 ( ρ , V i ) {\displaystyle (\rho ,V_{i})} は、KZ方程式のホロノミーとして、ブレイド群の線型表現 θ : B n → V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V n {\displaystyle \theta :B_{n}\rightarrow V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{n}} を与える。一方、KZ方程式は、ホロノミーとしてブレイド群の線型表現を与える。 KZ方程式の解析接続による V 1 ⊗ ⋯ ⊗ V n {\displaystyle V_{1}\otimes \dots \otimes V_{n}} 上の作用を、KZ方程式のモノドロミー表現(monodromy representation of KZ equation)と呼ぶ。特に、すべての V i {\displaystyle V_{i}} がスピン 1/2 表現を持つ場合は、KZ方程式から得られる線型表現は、ジョーンズ(Vaughan Jones)が作用素代数論から構成した表現と一致する。一般の半単純なリー代数を持つKZ方程式のモノドロミー表現は、対応する量子群(quantum group)のR-行列（英語版）(R-matrix)により与えられるブレイド群の線型表現と一致することも示されている。
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