ディラック共役

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ディラック共役

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/28 09:43 UTC 版)

ディラック共役（ディラックきょうやく, 英: Dirac adjoint）とは、場の量子論においてディラック・スピノールに対して定められる双対操作である。ディラック共役は、スピノールを組み合わせて作った量がよい振る舞いを示すよう、上手く形式化するために作られた。普通のエルミート共役は系のローレンツ対称性を欠くため、代わりにディラック共役が用いられる。

定義

ディラック・スピノール ψ のディラック共役 ψ は、次のように定義される:

${\bar {\psi }}\equiv \psi ^{\dagger }\gamma ^{0}$

ここで ψ^† は ψ のエルミート共役、γ⁰ はガンマ行列。

ローレンツ変換の下でのスピノール

特殊相対論のローレンツ群はコンパクトではない。 そのためディラック・スピノール空間におけるローレンツ変換の表現はユニタリーではない。これは一般に

$\lambda ^{\dagger }\neq \lambda ^{-1}$

として表される。ここで λ は、次のようにスピノールに対して作用するローレンツ変換である:

$\psi \to \psi '=\lambda \psi$.

この時スピノール ψ のエルミート共役 ψ^† は、次のように変換される:

$\psi ^{\dagger }\to \psi '^{\dagger }=\psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }$.

そのため、通常のエルミート共役を用いた ψ^†ψ はローレンツ・スカラーとならない。また ψ^†γ^μψ も自己共役にならない。

ここでディラック共役の定義を用いると、ψ は次のように変換されることが分かる:

${\bar {\psi }}\to {\bar {\psi }}'=\psi '^{\dagger }\gamma ^{0}=\left(\lambda \psi \right)^{\dagger }\gamma ^{0}=\psi ^{\dagger }\lambda ^{\dagger }\gamma ^{0}$.

ここでガンマ行列の公式 1 = γ⁰γ⁰ とローレンツ代数の公式 γ⁰λ^†γ⁰ = λ⁻¹ を用いると、ディラック共役の次のような変換性が得られる:

${\bar {\psi }}\to {\bar {\psi }}'={\bar {\psi }}\lambda ^{-1}$.

この結果、ディラック共役 ψ を用いた ψψ は

${\bar {\psi }}\psi \to {\bar {\psi }}'\psi '={\bar {\psi }}\lambda ^{-1}\lambda \psi ={\bar {\psi }}\psi$

とローレンツ・スカラーの変換性を満足する。また ψγ^μψ も自己共役となる:

$\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)^{\dagger }={\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$.

利用法

ディラック共役を用いて、スピン1/2の粒子場に関する4元確率の流れ J を次のように表すことが出来る:

$J^{\mu }=c{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi$

ここで c は光速、J の成分は密度 ρ と3元確率の流れ j を表す:

${\boldsymbol {J}}=(c\rho ,{\boldsymbol {j}})$.

μ = 0 と取り、再びガンマ行列の公式 1 = γ⁰γ⁰ を用いると、確率密度は次のようになる:

$\rho =\psi ^{\dagger }\psi$.

参考文献

• B. Bransden; C. Joachain (2000). Quantum Mechanics (2nd ed.). Pearson. ISBN 0-582-35691-1 
• M. Peskin; D. Schroeder (1995). “Chapter.3 The Dirac Field”. An Introduction to Quantum Field Theory (2nd ed.). Westview Press. ISBN 0-201-50397-2 
• A. Zee (1995). “Dirac bilinears”. Quantum Field Theory in a Nutshell (2nd ed.). Princeton University Press. p. 97. ISBN 0-691-01019-6 

関連項目

• ディラック方程式
  • ディラック場 ℒ = ψ(iγ^μ∂_μ - m)ψ
• ラリタ＝シュウィンガー方程式
• エルミート共役