Compactification

ウィキペディア

コンパクト化

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/09/22 17:22 UTC 版)

コンパクト化（英: compactification）は数学の一分野である位相空間論(英: general topology)の概念である。

概要

位相空間X のコンパクト化（英: compactification）とは、X をコンパクトな位相空間に稠密に埋め込む操作を指す。X を数学的に取り扱いやすいコンパクトな空間へ埋め込むと、X の性質を調べやすくする事ができる。

厳密な定義は以下のとおりである。

定義

$X$ 複素平面の一点コンパクト化。複素数 A を埋め込み写像P により球面（リーマン球面と呼ばれる）の上の一点 α に写す。図でP (∞)と書かれている部分が無限遠点である。 n次元ユークリッド空間 $\mathbb {R} ^{n}$ の一点コンパクト化は、n次元球面 $\mathbb {S} ^{n}$ と同相である。特にリーマン球面 ${\hat {\mathbb {C} }}$ は複素平面 $\mathbb {C}$ の一点コンパクト化として与えられる。 自然数全体（離散位相） $\mathbb {N}$ の一点コンパクト化は $\mathbb {N}$ に最大元 $\omega$ を付け加えた順序集合 $\mathbb {N} \cup \{\omega \}$ の順序位相と同相になる。 ストーン・チェックのコンパクト化 チコノフ空間 $X$ には以下の性質を満たすコンパクト化 $(\beta X,i)$が存在する事が知られており（具体的な構成方法は後述）、しかもそのようなコンパクト化は同値を除いて１つしかない事も知られている。この性質を満たす $(\beta X,i)$を $X$のストーン・チェックのコンパクト化という ストーン・チェックのコンパクト化 $i(X)$は $\beta X$で稠密 $X$上の有界連続関数は $\beta X$上の連続関数に一意に拡張できる。すなわち任意の有界連続関数 $f:X\to \mathbb {R}$に対しある連続関数 ${\bar {f}}:\beta X\to \mathbb {R}$が存在し、 ${\bar {f}}\circ i=f$が成立する。 普遍性 ストーン・チェックのコンパクト化は以下の性質を満たす事が知られている。 なお、この性質を満たすコンパクト化は同値を除いてストーン・チェックのコンパクト化に限る事が知られているので、この性質はストーン・チェックのコンパクト化を特徴づける。 ストーン・チェックのコンパクト化の普遍性 $X$ をチコノフ空間とし、 $(i,\beta X)$ を $X$ のストーン・チェックのコンパクト化とする。このとき以下が成立する。 $X$ の任意のハウスドルフなコンパクト化 $(K,j)$ に対しある連続写像 $\phi :\beta X\to K$ が（実はただ一つ）存在して $j=\phi \circ i$ が成立する。 すなわち以下の図式が可換となる。 ${\begin{array}{rcl}X&{\overset {i}{\to }}&\beta X\\&j\searrow &\downarrow \phi \\&&K\end{array}}$ 関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成 チコノフ空間 $X$ について $C_{b}(X)$ を $X$ 上の有界実関数全体とする。 このとき自然な埋め込み $i:X\to \prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}$ を $i(x)(f):=f(x)(x\in X,f\in C_{b}(X))$ と定義する。このとき（ $X$ がチコノフ空間なので） $i:X\to i(X)$ は同相写像となる。 さらに $\prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}$ がチコノフの定理からコンパクトとなることからその閉部分集合 ${\overline {i(X)}}$ はコンパクトである。 以上から $i:X\to {\overline {i(X)}}$ はハウスドルフなコンパクト化になっている。 $(j,K)$ を $X$ のハウスドルフなコンパクト化とする。このとき $j$ から自然な埋め込み $C_{b}(K)\hookrightarrow C_{b}(X)$ が誘導され、さらにそこから自然な射影 $j^{*}:\prod _{f\in C_{b}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}\to \prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}$ が誘導される（ $K$ がコンパクトなので $C_{b}(K)$ は連続関数全体と一致する）。 さらに $K$ から $\prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}$ への自然な埋め込みを $e:K\to \prod _{f\in C_{b}(K)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}$ とすると $j^{*}\circ i=e\circ j$ が成り立ち、 写像の連続性や像の稠密性及び空間のコンパクト性やハウスドルフ性から $j^{*}({\overline {i(X)}})={\overline {j^{*}(i(X))}}={\overline {e(j(X))}}={\overline {e(K)}}=e(K)$ となる。 以上から $e:K\to e(K)$ が同相写像であることに注意すると $\beta j:={e|_{K}}^{-1}\circ j^{*}$ が $j=\beta j\circ i$ を満たすことが分かる（一意性は $i(X)$ が ${\overline {i(X)}}$ で稠密であることから従う）。 連続写像の拡張 ストーン・チェックのコンパクト化における連続写像の拡張 $(i_{X},\beta X)$ をチコノフ空間 $X$ のストーン・チェックのコンパクト化とする。このとき以下が成立する。 任意のコンパクトハウスドルフ空間 $K$ と連続写像 $f:X\to K$ に対し、ある連続写像 $\beta f:\beta X\to K$ が（実はただ一つ）存在して $\beta f\circ i=f$が成立する。 すなわち以下の図式が可換となる。 ${\begin{array}{rcl}X&{\overset {i}{\to }}&\beta X\\&f\searrow &\downarrow \beta f\\&&K\end{array}}$ このことはストーン・チェックのコンパクト化を得る操作がコンパクトハウスドルフ空間の圏からチコノフ空間の圏への忘却関手の左随伴関手であることを示している。 この意味でストーン・チェックのコンパクト化はチコノフ空間から「自由に生成された」コンパクト空間と見ることが出来る。 ウォールマンのコンパクト化 T1空間には超フィルターを使ってストーン・チェックコンパクト化の類似物を構成することができる。これをウォールマンのコンパクト化といい、T1なコンパクト化になっている。 正規ハウスドルフ空間に対してはウォールマンのコンパクト化はストーン・チェックのコンパクト化と同値になる。数理論理学や周辺分野ではウォールマンのコンパクト化のことをストーン・チェックのコンパクト化といい、 $\beta X$ のように表すことが多い。 ウォールマンのコンパクト化の構成 T1空間 $X$ に対し ${\mathcal {F}}$ を $X$ 上の空でない閉部分集合全体とし、包含関係で自然に順序を入れる。 このとき $\omega X$ を ${\mathcal {F}}$ 上の超フィルター全体とする。 今 $X$ の閉部分集合 $C$ に対し、 $\omega C\subseteq \omega X$ を $\omega C:=\{\mu \in \omega X\colon C\in \mu \}$ と定義し、 $\omega {\mathcal {F}}:=\{\omega C\colon C\in {\mathcal {F}}\}$ とする。 このとき $\omega C\cup \omega D=\omega (C\cup D)(C,D\in {\mathcal {F}})$ から $\omega {\mathcal {F}}$ が閉基の公理を満たすので、そこから $\omega X$ に自然に位相が定まる。 相異なる $\mu ,\nu \in \omega X$ について、超フィルターの一般論から、ある $C\in \mu ,D\in \nu$ が存在して $C\cap D=\varnothing$ 。 このとき $U:=\omega X\setminus (\omega D)$ とすると $\mu \in U$ かつ $\nu \notin U$ となって、 $\omega X$ はT1空間。 ${\mathfrak {C}}$ を $\omega X$ 上の有限交叉的な閉集合族とする。このとき $\omega {\mathcal {F}}$ が閉基であることから、 $X$ 上の有限交叉的な閉集合族 $\{C_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$ で $\bigcap {\mathfrak {C}}=\bigcap _{\lambda \in \Lambda }\omega C_{\lambda }$ となるものが存在（ $\omega C_{0}\cap \omega C_{1}\cap \cdots \cap \omega C_{n-1}=\varnothing \Leftrightarrow C_{0}\cap C_{1}\cap \cdots \cap C_{n-1}=\varnothing$ に注意）。 ここで $\mu \in \omega X$ を $\{C_{\lambda }\colon \lambda \in \Lambda \}$ を含む超フィルターとすると $\omega C_{\lambda }$ の定義から $\mu \in \bigcap _{\lambda \in \Lambda }\omega C_{\lambda }$ 。 よって $\omega X$ はコンパクト。 写像 $i:X\to \omega X$ を $i(x):=\{C\in {\mathcal {F}}\colon x\in C\}(x\in X)$ と定義する。 このとき $\{x\}\in i(x),\{y\}\notin i(x)(x\neq y)$ から $i$ は単射。 $i(x)\in \omega C\leftrightarrow x\in C(x\in X,C\in {\mathcal {F}})$ から ${\overline {i(C)}}=\omega C$ （特に ${\overline {i(X)}}=\omega X$ ）及び ${\overline {i(C)}}\cap i(X)=\omega C\cap i(X)=i(C)$ がいえ $i:X\to i(X)$ は同相。 以上から $(i,\omega X)$ はT1なコンパクト化である。 $(i,\omega X)$ をウォールマンのコンパクト化という。 $X$ がチコノフ空間のとき上記の ${\mathcal {F}}$ を閉集合ではなくゼロ集合（実連続関数の一点の逆像となる集合）全体とするとストーン・チェックのコンパクト化になる。 連続写像の拡張 ウォールマンのコンパクト化における連続写像の拡張 $(i,\omega X)$ をT_1空間 $X$ のウォールマンのコンパクト化とする。このとき以下が成立する。 任意のコンパクトT_1空間 $K$ と連続写像 $f:X\to K$ 対しある連続写像 $\omega f:\omega X\to K$ が（実はただ一つ）存在して $\omega f\circ i=f$が成立する。 すなわち以下の図式が可換となる。 ${\begin{array}{rcl}X&{\overset {i}{\to }}&\omega X\\&f\searrow &\downarrow \omega f\\&&K\end{array}}$ これは $\mu \in \omega X$ にたいし $\omega f(\mu )\in \bigcap \{C\subseteq K:C{\text{ is closed}},f^{-1}(C)\in \mu \}$ と定義することで構成できる。 関数空間とコンパクト化 チコノフ空間 $X$ とそのハウスドルフなコンパクト化 $(i,K)$ に対して $X$ 上の関数空間 $C_{i}(X):=\{f\circ i\colon f\in C(K)\}$ を考える。 このとき自然な写像 $i^{*}:X\to \prod _{f\in C_{i}(X)}{\overline {\rm {{Im}(f)}}}$ は像への同相写像となる。 さらに関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成と同様の議論により ${\overline {i^{*}(X)}}$ はコンパクトでありしかも $K$ と同相。 以上のことからハウスドルフなコンパクト化は関数空間を適切に制限することで関数空間によるストーン・チェックのコンパクト化の構成と同様の方法で与えることが出来る。 この方法は種々のコンパクト化を構成する上で基本的な方法論となっている。 コンパクト化とリー群の離散部分群 リー群の離散部分群の研究では、コセットの商空間が、位相幾何学的なレベルだけでなく、より豊かなレベルで構造を保存するために、より微妙なコンパクト化の候補となることが多い。 例えば，モジュラー曲線はcuspごとに1点を追加することでコンパクト化され，リーマン曲面となる（コンパクトなので代数曲線となる）． 曲線は格子の空間をパラメトリック化し、格子は縮退することがある（「無限大に行く」）。 カスプはこれらの異なる「無限大への方向」を表している。 以上が平面上の格子の場合である。 n次元のユークリッド空間では、例えば ${\text{SO}}(n)\setminus {\text{SL}}_{n}({\textbf {R}})/{\text{SL}}_{n}({\textbf {Z}}).$ について同じ質問をすることができる。 Borel-Serreコンパクト化、reductive Borel-Serreコンパクト化、佐竹コンパクト化などのコンパクト化がある。 様々なコンパクト化 スミノフのコンパクト化 : 有界な一様連続関数全体から定まる一様空間上のコンパクト化。 ヒグソンのコンパクト化 : ヒグソン関数全体から定まるcoarse空間上のコンパクト化。 ボーアのコンパクト化 :有界な一様概周期関数全体から定まる位相群上のコンパクト化。 ends of a space と en:prime endの理論. 開多様体のcollaring, en:Martin boundary, en:Shilov boundary 、en:Furstenberg boundaryなどのいくつかの境界理論． 位相環上の射影直線はそれをコンパクト化することができる． エルミート対称空間の商のen:Baily–Borel compactification． 代数群の商のen:wonderful compactification． 凸コンパクト化(convex compactification)（微分積分を発展させたり，変分積分学や最適化理論における緩和などのより高度な考察を可能にする。） 関連項目 位相空間 コンパクト空間 完備化 参考文献 J. L. Kelley (2008). General Topology. Ishi Press. ISBN 9780923891558.