ベルトランの仮説とは？わかりやすく解説

ベルトランの仮説（英: Bertrand's postulate）とは、フランスの数学者ジョゼフ・ベルトランが1845年に発表した、

ベルトランの仮説 ― 任意の自然数 $n$ に対して、 $n < p \leq 2 n$ を満たす素数 $p$ が存在する

という命題である。

ベルトランの仮説 ― 任意の自然数 $n$ に対して、 $n > 1$ ならば $n < p < 2 n$ を満たす素数 $p$ が存在する

ベルトランの仮説 ― 任意の自然数 $n$ に対して、 $n > 3$ ならば $n < p < 2 n - 2$ を満たす素数 $p$ が存在する

とも言い換えられる。ベルトランはこの命題を $2 \leq n \leq 3000000$ の場合に検証し、一般の場合についての予想として提出した^[1]。この命題は実際には1852年にチェビシェフによって証明されており^[2]、現在ではベルトラン＝チェビシェフの定理（英: Bertrand–Chebyshev theorem）、数論におけるチェビシェフの定理（英: Chebyshev's theorem）とも呼ばれている。

証明

ガンマ関数を使った証明

最初に得られたチェビシェフによる証明はガンマ関数を使った高度なものであった^[2]。1919年にシュリニヴァーサ・ラマヌジャンは、ガンマ関数を用いて、チェビシェフの証明よりも簡単な証明を与えた^[3]。

初等的な証明

1932年にポール・エルデシュが高校生のときに初等的な証明を与えた^[4]^[5]^[6]。

一松信は、エルデシュによる初等的な証明をさらに解きほぐしたものを『数研通信』70号（2011年5月）に発表した^[5]。2013年5月には、より強い評価式による証明が発表された^[7]。2019年8月には、『数学セミナー』に同様な証明が掲載された^[8]。

証明

その証明の概略は次の通りである。背理法による。

ある自然数 $n$ を取ると、 $n < p \leq 2 n$ を満たす素数 $p$ が存在しないと仮定する。
$2 n C n$ を下と上から $n$ の式で評価し、それを $f (n) < 2 n C n < g (n)$ とおく。
$y={\frac {\log x}{x}}$ この項目は、数論に関連した書きかけの項目です。この項目を加筆・訂正などしてくださる協力者を求めています（プロジェクト:数学／Portal:数学）。