0で割ること
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/07/29 00:43 UTC 版)
詳細は「ゼロ除算」を参照 代数的には、除法は乗法の逆の演算として定義される。つまり a を b で割るという除法は a ÷ b = x ⟺ a = b × x {\displaystyle a\div b=x\iff a=b\times x} を満たす唯一つの x を与える演算でなければならない。ここで、唯一つというのは簡約律 b x = b y ⇒ x = y {\displaystyle bx=by\Rightarrow x=y} が成立するということを意味する。この簡約律が成立しないということは、bx = by という条件だけからは x = y という情報を得たことにはならないということであり、そのような条件下で強いて除法を定義したとしても益が無いのである。 実数の乗法において、簡約が不能な一つの特徴的な例として b = 0 である場合、つまり「0 で割る」という操作を挙げることができる。実際、b = 0 であるとき a = bx によって除法 a ÷ b を定めようとすると、もちろん a = 0 である場合に限られるが、いかなる x, y についても 0x = 0 = 0y が成立してしまって x の値は定まらない。無論、a ≠ 0 ならば a = 0x なる x は存在せず a ÷ b は定義出来ない。つまり、実数の持つ代数的な構造と0による 除算は両立しない。
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