非公式な表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/01 04:21 UTC 版)
この節では、フレドホルム行列式のある非公式な定義を紹介する。以下のフレドホルム行列式が与えられる状況において、より望ましい定義のためには、いくつかの点が well-defined であったり、収束したりすることについて証明することが求められる。以下で現れる核 K は様々なヒルベルト空間やバナッハ空間上で定義され得るものであるため、それらはつまらない練習問題という訳ではない。 フレドホルム行列式は det ( I − λ K ) = [ ∑ n = 0 ∞ ( − λ ) n Tr K n ] = exp ( ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n + 1 Tr A n n z n ) {\displaystyle \det(I-\lambda K)=\left[\sum _{n=0}^{\infty }(-\lambda )^{n}\operatorname {Tr} K^{n}\right]=\exp {(\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\operatorname {Tr} A^{n}}{n}}z^{n}})} のように定義され得る。但し、K は積分作用素である。その作用素のトレースは Tr K = ∫ K ( x , x ) d x {\displaystyle \operatorname {Tr} K=\int K(x,x)\,dx} および Tr Λ 2 ( K ) = 1 2 ! ∬ K ( x , x ) K ( y , y ) − K ( x , y ) K ( y , x ) d x d y {\displaystyle \operatorname {Tr} \Lambda ^{2}(K)={\frac {1}{2!}}\iint K(x,x)K(y,y)-K(x,y)K(y,x)\,dxdy} および、より一般的に Tr K n = 1 n ! ∫ ⋯ ∫ det K ( x i , x j ) | 1 ≤ i , j ≤ n d x 1 ⋯ d x n {\displaystyle \operatorname {Tr} K^{n}={\frac {1}{n!}}\int \cdots \int \det K(x_{i},x_{j})|_{1\leq i,j\leq n}\,dx_{1}\cdots dx_{n}} で与えられる。これらの核はトレースクラスあるいは核作用素であるため、そのようなトレースは well-defined である。
※この「非公式な表現」の解説は、「フレドホルム行列式」の解説の一部です。
「非公式な表現」を含む「フレドホルム行列式」の記事については、「フレドホルム行列式」の概要を参照ください。
- 非公式な表現のページへのリンク
