限定的な代数的解法とは? わかりやすく解説

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限定的な代数的解法

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/05/09 22:23 UTC 版)

五次方程式」の記事における「限定的な代数的解法」の解説

一般式代数的に解けないということは上記示したとおりであるが、特定の五次方程式どのような場合解けるかは分かっている。ラグランジュ3次、4次で用いた手法そのまま持ち込んだ場合、 x = ( α 1 + ζ α 2 + ζ 2 α 3 + ζ 3 α 4 + ζ 4 α 5 ) 5 {\displaystyle x=(\alpha _{1}+\zeta \alpha _{2}+\zeta ^{2}\alpha _{3}+\zeta ^{3}\alpha _{4}+\zeta ^{4}\alpha _{5})^{5}} (ただし ζ は1の原始5乗根) の置換考察することになるが、この場合5次対称群位数120で、出現する式は5次巡回群の位数=5で割った24通りである。つまりその為に解かなければならない方程式24次式となり5次よりはるかに悪化する。 そこでより位数の低い置換与えるような式を考察する必要があるが、これは1861年アーサー・ケイリー与えたものが最良となる。 x = ( α 1 α 2 + α 2 α 3 + α 3 α 4 + α 4 α 5 + α 5 α 1 − α 1 α 3 − α 2 α 4 − α 3 α 5 − α 4 α 1 − α 5 α 2 ) 2 {\displaystyle x=(\alpha _{1}\alpha _{2}+\alpha _{2}\alpha _{3}+\alpha _{3}\alpha _{4}+\alpha _{4}\alpha _{5}+\alpha _{5}\alpha _{1}-\alpha _{1}\alpha _{3}-\alpha _{2}\alpha _{4}-\alpha _{3}\alpha _{5}-\alpha _{4}\alpha _{1}-\alpha _{5}\alpha _{2})^{2}} この場合出現する式は6通りであり、6次方程式を解くことに帰着する。もちろんこれを代数的に解くことは一般的状況では不可能であるが、根の平方が有理数になる場合限り実質的な次数が下がり、代数的に解ける。以下は3次、4次のラグランジュの解同様にして元の方程式の根を得る。これが五次方程式代数的に解ける必要十分条件である。

※この「限定的な代数的解法」の解説は、「五次方程式」の解説の一部です。
「限定的な代数的解法」を含む「五次方程式」の記事については、「五次方程式」の概要を参照ください。

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