量子論による導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/02/27 16:08 UTC 版)
磁場中で運動する電子のハミルトニアンは H = 1 2 m ( p + e c A ) 2 + V ( r ) − g μ B s ⋅ H {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} +{e \over c}\mathbf {A} \right)^{2}+V(r)-g\mu _{\mathrm {B} }\mathbf {s} \cdot \mathbf {H} } である。ここで p = − i ℏ ∇ {\displaystyle \mathbf {p} =-i\hbar \nabla } は運動量演算子 A {\displaystyle \mathbf {A} } は外部磁場によるベクトルポテンシャル V ( r ) {\displaystyle V(r)} は中心力のポテンシャルエネルギー g {\displaystyle g} はランデのg因子 μ B = e ℏ / 2 m c {\displaystyle \mu _{\mathrm {B} }=e\hbar /2mc} はボーア磁子 s {\displaystyle \mathbf {s} } はスピン演算子。 今、 z {\displaystyle z} 軸方向に一様な外部磁場 H = ( 0 , 0 , H ) {\displaystyle \mathbf {H} =(0,0,H)} がかかっているとすると、 ∇ × A = H , A = 1 2 ( H × r ) = 1 2 ( − H y , H x , 0 ) {\displaystyle \nabla \times \mathbf {A} =\mathbf {H} ,\quad \mathbf {A} ={1 \over 2}(\mathbf {H} \times \mathbf {r} )={1 \over 2}(-Hy,Hx,0)} となる。よってこのハミルトニアンは H = p 2 2 m + V ( r ) − μ B ( l z + g s z ) H + e 2 H 2 8 m c 2 ( x 2 + y 2 ) {\displaystyle {\mathcal {H}}={\frac {p^{2}}{2m}}+V(r)-\mu _{\mathrm {B} }(l_{z}+gs_{z})H+{\frac {e^{2}H^{2}}{8mc^{2}}}(x^{2}+y^{2})} となる。 このうち、前の2項は磁場に依存しない項であり磁性に寄与しない。磁場によるエネルギーは基底状態をg、励起状態をeとして E H = ⟨ g | H | g ⟩ − ∑ e ≠ g | ⟨ e | H | g ⟩ | 2 E e − E g {\displaystyle E_{H}=\langle g|{\mathcal {H}}|g\rangle -\sum _{e\neq g}{\frac {{\bigl |}\langle e|{\mathcal {H}}|g\rangle {\bigr |}^{2}}{E_{e}-E_{g}}}} = − ⟨ g | μ B ( l z + g s z ) H | g ⟩ + e 2 H 2 8 m c 2 ⟨ g | x 2 + y 2 | g ⟩ − ∑ e ≠ g | ⟨ e | μ B ( l z + g s z ) H | g ⟩ | 2 E e − E g {\displaystyle =-\langle g|\mu _{\mathrm {B} }(l_{z}+gs_{z})H|g\rangle +{\frac {e^{2}H^{2}}{8mc^{2}}}\langle g|x^{2}+y^{2}|g\rangle -\sum _{e\neq g}{\frac {{\bigl |}\langle e|\mu _{\mathrm {B} }(l_{z}+gs_{z})H|g\rangle {\bigr |}^{2}}{E_{e}-E_{g}}}} 一項目は軌道角運動量とスピン演算子による磁気モーメント、三項目は軌道角運動量によるヴァン・ヴレック常磁性の項であり、二項目がラーモア反磁性の項である。希ガスやイオン芯などの閉殻では l = s = 0 {\displaystyle \mathbf {l} =\mathbf {s} =0} であるため、二項目のラーモア反磁性の項だけが残る。 磁化率を求めるにはまず二項目について、電子数 Z {\displaystyle Z} 個と電子の球対称性、原子の数 N {\displaystyle N} を用いて E l a r m o r = N Z e 2 H 2 8 m c 2 ⟨ g | x 2 + y 2 | g ⟩ = N Z e 2 H 2 8 m c 2 2 3 ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle E_{\rm {larmor}}={\frac {NZe^{2}H^{2}}{8mc^{2}}}\langle g|x^{2}+y^{2}|g\rangle ={\frac {NZe^{2}H^{2}}{8mc^{2}}}{2 \over 3}\langle r^{2}\rangle } とし、このエネルギーを二階微分して χ = − ∂ M ∂ H = − ∂ 2 E l a r m o r ∂ H 2 = − N Z e 2 6 m c 2 ⟨ r 2 ⟩ {\displaystyle \chi =-{\frac {\partial M}{\partial H}}=-{\frac {\partial ^{2}E_{\rm {larmor}}}{\partial H^{2}}}=-{\frac {NZe^{2}}{6mc^{2}}}\langle r^{2}\rangle } となる。なお、 μ 0 = 1 / c 2 {\displaystyle \mu _{0}=1/c^{2}} である。
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